Studio di $f(x)=\frac{x}{\left(x^2+4\right)}$

Studio completo passo-passo

1. 1

   Dominio e simmetria

   La funzione è razionale fratta: $f(x)=\frac{x}{x^2+4}$.

   Il denominatore $x^2+4$ è sempre positivo ($x^2+4\ge 4>0$), quindi non ci sono punti di discontinuità.

   Il dominio è $\mathbb{R}$, tutti i numeri reali.

   Verifichiamo eventuali simmetrie:

   $$f(-x)=\frac{-x}{(-x{)}^2+4}=-\frac{x}{x^2+4}=-f(x)$$

   La funzione è dispari, quindi simmetrica rispetto all'origine.

2. 2

   Intersezioni con gli assi e segno

   Intersezione con l'asse $y$: ponendo $x=0$ si ha $f(0)=0$, quindi punto $(0,0)$.

   Intersezione con l'asse $x$ (zeri): $f(x)=0\Rightarrow x=0$, unico punto $(0,0)$.

   Segno: il denominatore è sempre positivo, quindi il segno è determinato dal numeratore $x$: - $f(x)>0$ per $x>0$ - $f(x)<0$ per $x<0$ - $f(0)=0$

3. 3

   Comportamento agli estremi e asintoti

   Calcoliamo i limiti per $x\to \pm \infty$:

   $$\underset{x\to \pm \infty }{\lim }\frac{x}{x^2+4}=\underset{x\to \pm \infty }{\lim }\frac{\frac{1}{x}}{1+\frac{4}{x^2}}=0$$

   La retta $y=0$ (asse $x$) è asintoto orizzontale sia per $x\to +\infty$ che per $x\to -\infty$.

   Non ci sono asintoti verticali (denominatore mai nullo) e, poiché esiste un asintoto orizzontale, non esiste asintoto obliquo.

4. 4

   Derivata prima e monotonia

   Calcoliamo la derivata prima usando la regola del quoziente:

   $$f^{\prime }(x)=\frac{1\cdot (x^2+4)-x\cdot (2x)}{(x^2+4{)}^2}=\frac{x^2+4-2x^2}{(x^2+4{)}^2}=\frac{4-x^2}{(x^2+4{)}^2}.$$

   Verifica con la regola del prodotto: $f(x)=x(x^2+4{)}^{-1}$, $f^{\prime }(x)=1\cdot (x^2+4{)}^{-1}+x\cdot (-1)(x^2+4{)}^{-2}\cdot 2x=\frac{1}{x^2+4}-\frac{2x^2}{(x^2+4{)}^2}=\frac{x^2+4-2x^2}{(x^2+4{)}^2}=\frac{4-x^2}{(x^2+4{)}^2}$.

   Confermato.

   Segno di $f^{\prime }(x)$: il denominatore è sempre positivo, quindi il segno è quello di $4-x^2$. - $4-x^2>0\Rightarrow |x|<2$: $f^{\prime }(x)>0$ (funzione crescente) - $4-x^2<0\Rightarrow |x|>2$: $f^{\prime }(x)<0$ (funzione decrescente) - $f^{\prime }(x)=0$ per $x=\pm 2$.

5. 5

   Massimi, minimi e descrizione del grafico

   Dallo studio della derivata prima: - In $x=-2$: a sinistra $f^{\prime }<0$, a destra $f^{\prime }>0$ → minimo relativo.

   $f(-2)=\frac{-2}{4+4}=-\frac{1}{4}$.

   Punto $(-2,-\frac{1}{4})$. - In $x=2$: a sinistra $f^{\prime }>0$, a destra $f^{\prime }<0$ → massimo relativo.

   $f(2)=\frac{2}{4+4}=\frac{1}{4}$.

   Punto $(2,\frac{1}{4})$.

   Descrizione del grafico: la funzione è dispari, passa per l'origine.

   Per $x\to -\infty$ tende a $0^{-}$ (da sotto), poi decresce fino al minimo $(-2,-\frac{1}{4})$, quindi cresce fino al massimo $(2,\frac{1}{4})$ e infine decresce tendendo a $0^{+}$ (da sopra) per $x\to +\infty$.

   Il grafico è simmetrico rispetto all'origine e presenta un andamento a "collina" tra i due estremanti.

Domande frequenti

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