Studio di $f(x)=\frac{x}{\left(x^2+1\right)}$

Studio completo passo-passo

1. 1

   Dominio e simmetrie

   La funzione $f(x)=\frac{x}{x^2+1}$ è una funzione razionale.

   Il denominatore $x^2+1$ è sempre positivo per ogni $x$ reale, quindi il dominio è $\mathbb{R}$.

   Inoltre, $f(-x)=\frac{-x}{(-x{)}^2+1}=-\frac{x}{x^2+1}=-f(x)$, quindi la funzione è dispari: il grafico è simmetrico rispetto all'origine.

2. 2

   Intersezioni con gli assi e segno

   Intersezioni: poniamo $f(x)=0$: $\frac{x}{x^2+1}=0$ implica $x=0$.

   Quindi l'unica intersezione è $(0,0)$, che è anche intersezione con l'asse $y$.

   Il segno: il denominatore è sempre positivo, quindi $f(x)>0$ per $x>0$ e $f(x)<0$ per $x<0$.

   La funzione è positiva a destra dell'origine, negativa a sinistra.

3. 3

   Limiti e asintoti

   Calcoliamo i limiti agli estremi del dominio ($x\to \pm \infty$):

   $$\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{x}{x^2+1}=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{1}{x+\frac{1}{x}}=0$$

   Analogamente ${\lim }_{x\to -\infty }f(x)=0$.

   Si ha quindi un asintoto orizzontale $y=0$ (l'asse $x$) per $x\to \pm \infty$.

   Non ci sono asintoti verticali perché il denominatore non si annulla.

4. 4

   Derivata prima

   Calcoliamo la derivata prima con la regola del quoziente:

   $$f^{\prime }(x)=\frac{(1)(x^2+1)-x(2x)}{(x^2+1{)}^2}=\frac{x^2+1-2x^2}{(x^2+1{)}^2}=\frac{1-x^2}{(x^2+1{)}^2}.$$

   Verifica: riscrivendo $f(x)=x(x^2+1{)}^{-1}$ e derivando con la regola del prodotto: $f^{\prime }(x)=1\cdot (x^2+1{)}^{-1}+x(-1)(x^2+1{)}^{-2}(2x)=\frac{1}{x^2+1}-\frac{2x^2}{(x^2+1{)}^2}=\frac{x^2+1-2x^2}{(x^2+1{)}^2}=\frac{1-x^2}{(x^2+1{)}^2}$, confermato.

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   Crescenza, decrescenza e punti estremanti

   Studiamo il segno della derivata: $f^{\prime }(x)=\frac{1-x^2}{(x^2+1{)}^2}$.

   Il denominatore è sempre positivo, quindi il segno è quello del numeratore $1-x^2$.

   Risulta: - $1-x^2>0$ per $-1<x<1$ $\Rightarrow$ $f^{\prime }(x)>0$ (funzione crescente); - $1-x^2<0$ per $x<-1$ o $x>1$ $\Rightarrow$ $f^{\prime }(x)<0$ (funzione decrescente); - $f^{\prime }(x)=0$ per $x=-1$ e $x=1$.

   Pertanto in $x=-1$ si ha un minimo relativo (la derivata cambia da negativa a positiva), in $x=1$ un massimo relativo (da positiva a negativa).

   Calcoliamo i valori:

   $$f(-1)=\frac{-1}{1+1}=-\frac{1}{2},f(1)=\frac{1}{1+1}=\frac{1}{2}.$$

   Essendo la funzione dispari e con limiti nulli all'infinito, questi sono anche estremi assoluti.

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   Descrizione del grafico

   Il grafico di $f(x)=\frac{x}{x^2+1}$ è simmetrico rispetto all'origine (dispari).

   Passa per l'origine $(0,0)$.

   È positivo per $x>0$, negativo per $x<0$.

   Cresce da $-\frac{1}{2}$ (in $x=-1$) fino a $\frac{1}{2}$ (in $x=1$) passando per $0$, mentre decresce da $0$ verso $-\frac{1}{2}$ per $x\to -\infty$ e da $\frac{1}{2}$ verso $0$ per $x\to +\infty$.

   L'asintoto orizzontale è l'asse $x$ ($y=0$).

   La funzione ha un minimo assoluto in $(-1,-\frac{1}{2})$ e un massimo assoluto in $(1,\frac{1}{2})$.

Domande frequenti

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