Studio di $f(x)=\frac{x^2}{\left(x-1\right)}$

Studio completo passo-passo

1. 1

   Dominio e Simmetrie

   La funzione è razionale fratta.

   Il denominatore si annulla per $x=1$, quindi il dominio è:

   $$\mathcal{D}=(-\infty ,1)\cup (1,+\infty ).$$

   Controllo le simmetrie: $f(-x)=\frac{(-x{)}^2}{-x-1}=\frac{x^2}{-x-1}=-\frac{x^2}{x+1}\ne f(x)$ e $\ne -f(x)$.

   Non ci sono simmetrie evidenti (né pari né dispari).

2. 2

   Intersezioni con gli assi e Segno

   Intersezione con l'asse $y$: $x=0\Rightarrow f(0)=\frac{0^2}{-1}=0$, quindi punto $(0,0)$.

   Intersezione con l'asse $x$: $f(x)=0\Rightarrow x^2=0\Rightarrow x=0$ (con molteplicità 2).

   L'unico punto è $(0,0)$.

   Segno: il numeratore $x^2$ è $\ge 0$ (nullo solo in $0$), il segno è quello del denominatore $x-1$: - $x>1$: $x-1>0\Rightarrow f(x)>0$; - $x<1$ e $x\ne 0$: $x-1<0\Rightarrow f(x)<0$; - $x=0$: $f(0)=0$.

   Pertanto $f(x)>0$ per $x>1$, $f(x)<0$ per $x<1$ con $x\ne 0$, e $f(0)=0$ (radice doppia, la curva tocca l'asse $x$ senza attraversarlo).

3. 3

   Limiti agli estremi del dominio e Asintoti

   Limiti all'infinito: il grado del numeratore (2) supera di 1 quello del denominatore (1), quindi esiste un asintoto obliquo.

   Calcolo preliminare:

   $$\underset{x\to \pm \infty }{\lim }f(x)=\pm \infty .$$

   Asintoto obliquo $y=mx+q$:

   $$m=\underset{x\to \pm \infty }{\lim }\frac{f(x)}{x}=\underset{x\to \pm \infty }{\lim }\frac{x}{x-1}=1.$$

   $$q=\underset{x\to \pm \infty }{\lim }(f(x)-mx)=\underset{x\to \pm \infty }{\lim }\left(\frac{x^2}{x-1}-x\right)=\underset{x\to \pm \infty }{\lim }\frac{x}{x-1}=1.$$

   Quindi l'asintoto obliquo è $y=x+1$.

   Verifico la differenza $f(x)-(x+1)$:

   $$f(x)-(x+1)=\frac{x^2}{x-1}-(x+1)=\frac{x^2-(x^2-1)}{x-1}=\frac{1}{x-1}.$$

   Così per $x\to -\infty$ la differenza tende a $0^{-}$ (funzione sotto l'asintoto), per $x\to +\infty$ tende a $0^{+}$ (funzione sopra).

   Limite per $x\to 1$ (asintoto verticale):

   $$\underset{x\to 1^{-}}{\lim }f(x)=\frac{1}{0^{-}}=-\infty ,\underset{x\to 1^{+}}{\lim }f(x)=\frac{1}{0^{+}}=+\infty .$$

   La retta $x=1$ è asintoto verticale.

4. 4

   Derivata prima, crescenza/decrescenza, massimi e minimi

   Calcolo della derivata prima con la regola del quoziente:

   $$f^{\prime }(x)=\frac{2x(x-1)-x^2\cdot 1}{(x-1{)}^2}=\frac{2x^2-2x-x^2}{(x-1{)}^2}=\frac{x^2-2x}{(x-1{)}^2}=\frac{x(x-2)}{(x-1{)}^2}.$$

   Il denominatore $(x-1{)}^2>0$ per $x\ne 1$, quindi il segno di $f^{\prime }$ è quello del numeratore $x(x-2)$: - $x<0$: $x(x-2)>0\Rightarrow f^{\prime }(x)>0$ (crescente); - $0<x<2$: $x(x-2)<0\Rightarrow f^{\prime }(x)<0$ (decrescente); - $x>2$: $x(x-2)>0\Rightarrow f^{\prime }(x)>0$ (crescente).

   Punti critici: $x=0$ e $x=2$ (entrambi nel dominio). - $x=0$: $f^{\prime }$ passa da $+$ a $-$ → massimo locale.

   $f(0)=0$. - $x=2$: $f^{\prime }$ passa da $-$ a $+$ → minimo locale.

   $f(2)=\frac{4}{1}=4$.

   Verifico la derivata con un metodo alternativo: riscrivo $f(x)=x+\frac{x}{x-1}$?

   No, ma posso derivare la forma $f(x)=x+1+\frac{1}{x-1}$ (dalla scomposizione della divisione: $x^2/(x-1)=x+1+\frac{1}{x-1}$).

   Derivando: $f^{\prime }(x)=1-\frac{1}{(x-1{)}^2}=\frac{(x-1{)}^2-1}{(x-1{)}^2}=\frac{x^2-2x}{(x-1{)}^2}$, identico.

   OK.

5. 5

   Descrizione del grafico e verifica finale

   Il grafico della funzione $f(x)=\frac{x^2}{x-1}$ presenta due rami separati dall'asintoto verticale $x=1$.

   - Per $x<1$: la funzione proviene da $-\infty$ seguendo l'asintoto obliquo $y=x+1$ da sotto (differenza negativa).

   Cresce fino a $x=0$, dove ha un massimo locale $(0,0)$ (tangente orizzontale).

   Poi decresce fino a $-\infty$ quando $x\to 1^{-}$.

   - Per $x>1$: la funzione viene da $+\infty$ appena a destra di $1$, decresce fino a $x=2$, dove ha un minimo locale $(2,4)$, poi risale, avvicinandosi all'asintoto obliquo $y=x+1$ da sopra (differenza positiva).

   Non ci sono altri punti critici; la concavità (non richiesta) può essere studiata con la derivata seconda, ma non necessaria per la descrizione.

   Verifica complessiva: dominio corretto, asintoti verificati con il limite della differenza, derivata ricalcolata con forma equivalente, punti critici calcolati e classificati con il segno della derivata.

   Tutti i passaggi concordano.

Domande frequenti

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