Quali sono gli integrali immediati da sapere a memoria?

Gli integrali immediati fondamentali sono: ∫k dx = kx+c, ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n+1)+c (con n≠−1), ∫1/x dx = ln|x|+c, ∫eˣ dx = eˣ+c, ∫aˣ dx = aˣ/ln(a)+c, ∫sin x dx = −cos x+c, ∫cos x dx = sin x+c, ∫1/cos²x dx = tan x+c, ∫1/√(1−x²) dx = arcsin x+c, ∫1/(1+x²) dx = arctan x+c. Ognuno ha una forma generalizzata per funzioni composte.

Cos'è la forma generalizzata di un integrale immediato?

La forma generalizzata permette di calcolare l'integrale quando l'argomento non è semplicemente "x" ma una funzione g(x). Il trucco è riconoscere la derivata g'(x) moltiplicata accanto alla funzione. Esempio: ∫2x·cos(x²) dx = sin(x²)+c perché 2x è esattamente la derivata di x². Questa tecnica è il passo fondamentale prima di studiare l'integrazione per sostituzione.

Perché l'integrale di 1/x è ln|x| con il valore assoluto?

Il valore assoluto è obbligatorio perché la funzione 1/x è definita anche per x negativo (ad esempio in x = −5), ma il logaritmo senza valore assoluto non accetta argomenti negativi. Scrivere ln(x) invece di ln|x| significa restringere artificialmente il dominio della primitiva rispetto a quello della funzione integranda.

Dove scaricare la tabella degli integrali immediati in PDF?

La tabella completa degli integrali immediati e notevoli è disponibile gratuitamente su TuttoCalcolo in formato PDF ad alta risoluzione alla pagina /education/analisi1/integrali/tabella. Include forme base, forme generalizzate per funzioni composte ed esempi pratici.

Edu/Analisi 1/Integrali

Integrali Immediati

Le formule base per calcolare le primitive. Salva la tabella e studia con attenzione la colonna delle Forme Generalizzate: sarà la tua salvezza all'esame.

La Tabella Universale

Per ogni integrale base, c'è la sua forma generalizzata. Se impari a riconoscere $f'(x)$ nascosto nell'esercizio, potrai risolverlo a vista.

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Integrale Base	Primitiva $+ c$	Esempio Pratico	Forma Generalizzata (Cerca $f'(x)$ !)
1. Costanti e Potenze
$\int k \, dx$	$kx + c$	$\int 5 \, dx = 5x + c$	Regola base della costante.
$\int x^n \, dx$ ( $n \neq -1$ )	$\frac{x^{n+1}}{n+1} + c$	$\int x^3 \, dx = \frac{x^4}{4} + c$	$\int [f(x)]^n \cdot f'(x) \, dx = \frac{[f(x)]^{n+1}}{n+1} + c$
$\int \frac{1}{x} \, dx$	$\ln\|x\| + c$	Il valore assoluto è obbligatorio!	$\int \frac{f'(x)}{f(x)} \, dx = \ln\|f(x)\| + c$
2. Esponenziali
$\int e^x \, dx$	$e^x + c$	$\int e^{2x} \cdot 2 \, dx = e^{2x} + c$	$\int e^{f(x)} \cdot f'(x) \, dx = e^{f(x)} + c$
$\int a^x \, dx$	$\frac{a^x}{\ln a} + c$	$\int 3^x \, dx = \frac{3^x}{\ln 3} + c$	$\int a^{f(x)} \cdot f'(x) \, dx = \frac{a^{f(x)}}{\ln a} + c$
3. Funzioni Goniometriche
$\int \sin x \, dx$	$-\cos x + c$	$\int \sin(x^2) \cdot 2x \, dx = -\cos(x^2) + c$	$\int \sin(f(x)) \cdot f'(x) \, dx = -\cos(f(x)) + c$
$\int \cos x \, dx$	$\sin x + c$	$\int \cos(3x) \cdot 3 \, dx = \sin(3x) + c$	$\int \cos(f(x)) \cdot f'(x) \, dx = \sin(f(x)) + c$
$\int \frac{1}{\cos^2 x} \, dx$	$\tan x + c$	-	$\int \frac{f'(x)}{\cos^2(f(x))} \, dx = \tan(f(x)) + c$
4. Radici e Frazioni (Archi Noti)
$\int \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} \, dx$	$\arcsin x + c$	-	$\int \frac{f'(x)}{\sqrt{1 - [f(x)]^2}} \, dx = \arcsin(f(x)) + c$
$\int \frac{1}{1 + x^2} \, dx$	$\arctan x + c$	$\int \frac{e^x}{1+e^{2x}} \, dx = \arctan(e^x) + c$	$\int \frac{f'(x)}{1 + [f(x)]^2} \, dx = \arctan(f(x)) + c$

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Molti errori all'esame nascono dalla fretta. Ecco i tre trucchi fondamentali che devi assolutamente capire prima di proseguire con l'Integrazione per Sostituzione.

L'errore del Logaritmo

Perché il valore assoluto?

Scopri di più ↓

Molti studenti scrivono: $\int \frac{1}{x} dx = \ln(x) + c$ . Questo è un errore grave!

La funzione $\frac{1}{x}$ esiste sia per $x$ positivi che negativi (esiste per $-5$ ). Ma se scrivi solo $\ln(x)$ , il logaritmo di $-5$ non esiste! Hai "ristretto" il dominio originale.

Aggiungendo il valore assoluto $\ln|x|$ , garantisci che l'argomento del logaritmo sia sempre positivo, mantenendo intatto il dominio originale su entrambi i lati dell'asse Y.

La Potenza -1

Perché la regola si blocca?

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La regola della potenza $\frac{x^{n+1}}{n+1}$ funziona per tutto (anche radici $1/2$ e potenze negative $-3$ ), tranne per $n = -1$ .

Perché? Se provi ad applicarla a $\int x^{-1} dx$ , al denominatore ottieni $-1 + 1 = 0$ . Sarebbe una divisione per zero!

Ecco perché $x^{-1}$ (che equivale a $\frac{1}{x}$ ) ha una sua regola speciale: il logaritmo.

A Caccia di f'(x)

Il trucco visivo

Scopri di più ↓

Guarda la colonna delle forme generalizzate. Il segreto per risolvere gli integrali è cercare una funzione e la sua derivata moltiplicata di fianco.

Esempio: $\int 2x \cdot \cos(x^2) dx$ .

Non andare in panico. Noti che $2x$ è esattamente la derivata di $x^2$ ? Bingo! Sei nel caso $\cos(f(x)) \cdot f'(x)$ . La soluzione è immediata: $\sin(x^2) + c$ .

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