Studio di $f(x)=x^3-3\cdot x+2$

Studio completo passo-passo

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   Dominio e Simmetrie

   $f(x)$ è un polinomio, quindi definito per ogni $x\in \mathbb{R}$.

   Non presenta simmetrie evidenti: $f(-x)=-x^3+3x+2$ non è né uguale a $f(x)$ (funzione pari) né a $-f(x)$ (funzione dispari).

   $$f(-x)=(-x{)}^3-3(-x)+2=-x^3+3x+2\text{confronto con }f(x)=x^3-3x+2$$

   Né uguale né opposto, quindi nessuna simmetria.

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   Intersezioni con gli assi

   - **Asse $y$**: $x=0\Rightarrow f(0)=2$, punto $(0,2)$. - **Asse $x$**: risolvo $f(x)=0$:

   $$x^3-3x+2=0⟹(x-1{)}^2(x+2)=0$$

   Radici: $x=-2$ (semplice) e $x=1$ (doppia).

   Quindi intersezioni: $(-2,0)$ e $(1,0)$.

   Verifica: espando $(x-1{)}^2(x+2)=(x^2-2x+1)(x+2)=x^3+2x^2-2x^2-4x+x+2=x^3-3x+2$, corretto.

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   Segno della funzione

   Poiché $f(x)=(x-1{)}^2(x+2)$, il fattore $(x-1{)}^2\ge 0$ per ogni $x$ ed è nullo solo in $x=1$.

   Il segno è quindi determinato da $(x+2)$:

   - $x<-2$: $x+2<0\Rightarrow f(x)<0$ - $x>-2$ (con $x\ne 1$): $x+2>0\Rightarrow f(x)>0$ - $x=-2$ o $x=1$: $f(x)=0$

   Verifica con un punto per intervallo: $x=-3\Rightarrow f(-3)=(-4{)}^2(-1)=-16<0$; $x=0\Rightarrow f(0)=1\cdot 2=2>0$; $x=2\Rightarrow f(2)=1\cdot 4=4>0$.

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   Limiti e Asintoti

   $f$ è un polinomio di grado 3 con coefficiente direttivo positivo, quindi:

   $$\underset{x\to -\infty }{\lim }f(x)=-\infty ,\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=+\infty$$

   Non esistono asintoti orizzontali, verticali (il dominio è tutto $\mathbb{R}$) né obliqui (la funzione tende all'infinito con ordine maggiore di 1).

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   Derivata prima, crescenza e punti critici

   Calcolo la derivata prima:

   $$f^{\prime }(x)=3x^2-3=3(x^2-1)=3(x-1)(x+1)$$

   Zeri di $f^{\prime }$: $x=-1$ e $x=1$.

   Studio il segno: - $x<-1$: $(x-1)(x+1)$ positivo (entrambi negativi) $\Rightarrow f^{\prime }(x)>0$ → $f$ crescente - $-1<x<1$: $(x-1)$ negativo, $(x+1)$ positivo $\Rightarrow f^{\prime }(x)<0$ → $f$ decrescente - $x>1$: entrambi positivi $\Rightarrow f^{\prime }(x)>0$ → $f$ crescente

   Quindi $x=-1$ è un punto di massimo locale: $f(-1)=(-1{)}^3-3(-1)+2=-1+3+2=4$.

   $x=1$ è un punto di minimo locale: $f(1)=1-3+2=0$.

   Verifica con derivata seconda: $f^{\prime \prime }(x)=6x$, $f^{\prime \prime }(-1)=-6<0$ (max), $f^{\prime \prime }(1)=6>0$ (min).

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   Descrizione del grafico

   Il grafico di $f(x)=x^3-3x+2$ è una cubica con le seguenti caratteristiche: - Dominio: tutto $\mathbb{R}$. - Intersezioni: $(-2,0)$, $(1,0)$ (tangente all'asse $x$ in $x=1$ per la radice doppia) e $(0,2)$. - Segno: positiva per $x>-2$ (tranne $x=1$ dove è nulla), negativa per $x<-2$. - Comportamento all'infinito: va a $-\infty$ a sinistra e a $+\infty$ a destra. - Crescenza: cresce fino a $x=-1$ (max relativo $(-1,4)$), decresce fino a $x=1$ (min relativo $(1,0)$), poi cresce di nuovo. - Punto di flesso: $f^{\prime \prime }(x)=6x=0\Rightarrow x=0$, $f(0)=2$, con cambio di concavità (da concava a convessa).

   Il grafico presenta una classica forma a "S" inclinata, con un massimo locale a $(-1,4)$ e un minimo locale a $(1,0)$, e un flesso nell'origine spostata in $(0,2)$.

Domande frequenti

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