Studio di $f(x)=x^4-2\cdot x^2$

Studio completo passo-passo

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   Dominio e simmetrie

   La funzione è un polinomio, quindi il dominio è tutto $\mathbb{R}$.

   Verifichiamo le simmetrie: $f(-x)=(-x{)}^4-2(-x{)}^2=x^4-2x^2=f(x)$.

   La funzione è pari, quindi simmetrica rispetto all'asse $y$.

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   Intersezioni con gli assi e segno

   Intersezioni con l'asse $x$: $f(x)=0\Rightarrow x^4-2x^2=0\Rightarrow x^2(x^2-2)=0$.

   Soluzioni: $x=0$, $x=\pm \sqrt{2}$.

   Intersezione con l'asse $y$: $f(0)=0$.

   Segno: $f(x)=x^2(x^2-2)$.

   Poiché $x^2\ge 0$ sempre, il segno è determinato da $x^2-2$:

   $$f(x)>0\text{per }|x|>\sqrt{2},f(x)=0\text{per }x=0,\pm \sqrt{2},f(x)<0\text{per }|x|<\sqrt{2},x\ne 0.$$
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   Limiti agli estremi e asintoti

   La funzione è un polinomio di grado $4$ con coefficiente direttivo positivo:

   $$\underset{x\to -\infty }{\lim }f(x)=+\infty ,\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=+\infty .$$

   Non esistono asintoti obliqui, orizzontali o verticali.

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   Derivata prima e punti critici

   Calcoliamo la derivata prima:

   $$f^{\prime }(x)=4x^3-4x=4x(x^2-1)=4x(x-1)(x+1).$$

   I punti critici (dove $f^{\prime }(x)=0$) sono:

   $$x=-1,x=0,x=1.$$
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   Segno della derivata e monotonia

   Studiamo il segno di $f^{\prime }(x)=4x(x-1)(x+1)$: - Per $x<-1$: $4x<0$, $(x-1)<0$, $(x+1)<0$ → prodotto $(4x)\cdot (x-1)\cdot (x+1)$: negativo $(-)\cdot (-)\cdot (-)=-$, quindi $f^{\prime }(x)<0$, $f$ decrescente. - Per $-1<x<0$: $4x<0$, $(x-1)<0$, $(x+1)>0$ → $(-)\cdot (-)\cdot (+)=+$, $f^{\prime }(x)>0$, $f$ crescente. - Per $0<x<1$: $4x>0$, $(x-1)<0$, $(x+1)>0$ → $(+)\cdot (-)\cdot (+)=-$, $f^{\prime }(x)<0$, $f$ decrescente. - Per $x>1$: $4x>0$, $(x-1)>0$, $(x+1)>0$ → $(+)\cdot (+)\cdot (+)=+$, $f^{\prime }(x)>0$, $f$ crescente.

   Riassumendo:

   $$f\text{ decrescente su }(-\infty ,-1),\text{crescente su }(-1,0),\text{decrescente su }(0,1),\text{crescente su }(1,\infty ).$$
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   Massimi e minimi

   Dallo studio della monotonia: - In $x=-1$: la funzione passa da decrescente a crescente → minimo relativo. - In $x=0$: passa da crescente a decrescente → massimo relativo. - In $x=1$: passa da decrescente a crescente → minimo relativo.

   Calcoliamo i valori:

   $$f(-1)=(-1{)}^4-2(-1{)}^2=1-2=-1,$$

   $$f(0)=0,$$

   $$f(1)=1-2=-1.$$

   Inoltre, poiché $f(x)\to +\infty$ agli estremi e il minimo è $-1$, i punti $(\pm 1,-1)$ sono minimi assoluti, mentre $(0,0)$ è un massimo locale ma non assoluto.

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   Descrizione del grafico

   La funzione è pari, simmetrica rispetto all'asse $y$.

   Interseca l'asse $x$ in $x=-\sqrt{2}$, $x=0$ e $x=\sqrt{2}$.

   È positiva per $x<-\sqrt{2}$ e $x>\sqrt{2}$, negativa nell'intervallo $(-\sqrt{2},\sqrt{2})$ (esclusi gli zeri).

   Presenta due minimi relativi (e assoluti) in $(-1,-1)$ e $(1,-1)$, e un massimo relativo in $(0,0)$.

   Per $x\to \pm \infty$ la funzione cresce illimitatamente verso $+\infty$.

   Il grafico ha una forma a "doppia conca" tipica delle funzioni pari di quarto grado.

Domande frequenti

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