Studio di $f(x)=\frac{\left(x^2+1\right)}{x}$

Studio completo passo-passo

1. 1

   Dominio e semplificazione

   La funzione $f(x)=\frac{x^2+1}{x}$ è una funzione razionale fratta.

   Il denominatore si annulla per $x=0$, quindi il dominio è tutto $\mathbb{R}$ escluso lo zero.

   Per comodità, la riscriviamo come somma di un polinomio e un termine fratto:

   $$f(x)=\frac{x^2+1}{x}=x+\frac{1}{x}$$

   Questa forma sarà utile per la derivazione e lo studio degli asintoti.

2. 2

   Simmetrie

   Verifichiamo se la funzione è pari o dispari valutando $f(-x)$:

   $$f(-x)=\frac{(-x{)}^2+1}{-x}=\frac{x^2+1}{-x}=-\frac{x^2+1}{x}=-f(x)$$

   Poiché $f(-x)=-f(x)$, la funzione è dispari.

   Il suo grafico è simmetrico rispetto all'origine.

3. 3

   Intersezioni con gli assi

   - **Asse $x$**: poniamo $f(x)=0$: $\frac{x^2+1}{x}=0$ implica $x^2+1=0$, impossibile in $\mathbb{R}$.

   Nessuna intersezione con l'asse $x$. - **Asse $y$**: $x=0$ non appartiene al dominio.

   Non c'è intersezione.

4. 4

   Segno della funzione

   Il numeratore $x^2+1$ è sempre positivo.

   Il segno di $f(x)$ è quindi determinato dal segno del denominatore $x$:

   - $x>0$ → $f(x)>0$ (funzione positiva) - $x<0$ → $f(x)<0$ (funzione negativa)

   Non ci sono punti dove $f(x)=0$.

5. 5

   Limiti agli estremi del dominio e asintoti

   Consideriamo i limiti agli estremi del dominio $(-\infty ,0)\cup (0,+\infty )$:

   - $x\to \pm \infty$: prevale il termine $x$:

   $$\underset{x\to -\infty }{\lim }f(x)=-\infty ,\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=+\infty$$

   - $x\to 0$: il numeratore tende a $1$, il denominatore a $0$:

   $$\underset{x\to 0^{-}}{\lim }f(x)=-\infty ,\underset{x\to 0^{+}}{\lim }f(x)=+\infty$$

   Asintoto verticale: $x=0$ (da entrambi i lati la funzione diverge).

   Asintoto obliquo: cerchiamo una retta $y=mx+q$ con $m={\lim }_{x\to \pm \infty }\frac{f(x)}{x}$ e $q={\lim }_{x\to \pm \infty }(f(x)-mx)$.

   $$m=\underset{x\to \pm \infty }{\lim }\frac{x^2+1}{x^2}=1$$

   $$q=\underset{x\to \pm \infty }{\lim }\left(\frac{x^2+1}{x}-x\right)=\underset{x\to \pm \infty }{\lim }\frac{1}{x}=0$$

   Quindi $y=x$ è asintoto obliquo per $x\to -\infty$ e $x\to +\infty$.

6. 6

   Derivata prima e monotonia

   Usando la forma $f(x)=x+\frac{1}{x}$, deriviamo:

   $$f^{\prime }(x)=1-\frac{1}{x^2}=\frac{x^2-1}{x^2}$$

   Il denominatore $x^2$ è sempre positivo dove definito ($x\ne 0$).

   Il segno di $f^{\prime }$ è quello del numeratore $x^2-1$:

   - $x^2-1>0$ quando $|x|>1$, cioè $x<-1$ o $x>1$ → $f^{\prime }(x)>0$ (crescente) - $x^2-1<0$ quando $|x|<1$, cioè $-1<x<1$ con $x\ne 0$ → $f^{\prime }(x)<0$ (decrescente) - $x^2-1=0$ per $x=\pm 1$ → punti critici

   Punti stazionari:

   - $x=-1$: $f(-1)=-2$, da sinistra $f^{\prime }>0$ a destra $f^{\prime }<0$ (per $-1<x<0$) → massimo locale $(-1,-2)$. - $x=1$: $f(1)=2$, da sinistra $0<x<1$ $f^{\prime }<0$, da destra $f^{\prime }>0$ → minimo locale $(1,2)$.

7. 7

   Verifica con metodi indipendenti

   Derivata: Ricalcoliamo $f^{\prime }(x)$ usando la regola del quoziente sulla forma originale $\frac{x^2+1}{x}$:

   $$f^{\prime }(x)=\frac{(2x)(x)-(x^2+1)(1)}{x^2}=\frac{2x^2-x^2-1}{x^2}=\frac{x^2-1}{x^2}$$

   Coincide con il risultato precedente.

   Asintoto obliquo: Verifichiamo che ${\lim }_{x\to \infty }(f(x)-x)=0$ effettivamente:

   $$f(x)-x=\frac{1}{x}\to 0$$

   Corretto.

   Punti critici: Sostituiamo $x=\pm 1$ in $f^{\prime }$ e verifichiamo che $f^{\prime }$ cambi segno: per $x=-2$ (sinistra) $f^{\prime }=3/4>0$; per $x=-0.5$ (destra) $f^{\prime }=-3<0$.

   Per $x=0.5$ (sinistra) $f^{\prime }=-3<0$; per $x=2$ (destra) $f^{\prime }=3/4>0$.

   Confermato.

8. 8

   Descrizione del grafico

   Il grafico di $f(x)=x+\frac{1}{x}$ è un'iperbole equilatera ruotata, con due rami separati dall'asintoto verticale $x=0$.

   - Simmetria: dispari, simmetrico rispetto all'origine. - Segno: per $x>0$ il grafico giace sopra l'asse $x$, per $x<0$ sotto. - Asintoto verticale: $x=0$, la funzione tende a $-\infty$ da sinistra e $+\infty$ da destra. - Asintoto obliquo: $y=x$ per $x\to \pm \infty$; il grafico si avvicina a questa retta da sopra per $x\to +\infty$?

   Verifichiamo: per $x>0$, $f(x)-x=1/x>0$ quindi il grafico è sopra l'asintoto; per $x<0$, $f(x)-x=1/x<0$ quindi sotto. - Punto di massimo locale: $(-1,-2)$, il ramo sinistro ha un picco (cresce fino a -1 poi decresce verso $-\infty$ all'avvicinarsi allo zero). - Punto di minimo locale: $(1,2)$, il ramo destro ha un minimo (decresce fino a 1 poi cresce verso $+\infty$ allontanandosi). - Concavità (derivata seconda $f^{\prime \prime }(x)=2/x^3$): per $x<0$ concavità verso il basso ($f^{\prime \prime }<0$), per $x>0$ concavità verso l'alto ($f^{\prime \prime }>0$).

   Il grafico è quindi composto da due rami che si allontanano dall'asintoto verticale e si avvicinano all'asintoto obliquo, con un massimo e un minimo locali simmetrici rispetto all'origine.

Domande frequenti

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