Studio di $f(x)=\frac{1}{\left(x^2-1\right)}$

Studio completo passo-passo

1. 1

   Dominio e simmetrie

   La funzione è definita quando il denominatore è diverso da zero, cioè $x^2-1\ne 0$.

   Risolvendo $x^2=1$ si ottengono $x\ne \pm 1$.

   Quindi:

   $$\text{Dominio: }(-\infty ,-1)\cup (-1,1)\cup (1,+\infty ).$$

   Per le simmetrie, calcoliamo $f(-x)=\frac{1}{(-x{)}^2-1}=\frac{1}{x^2-1}=f(x)$.

   La funzione è pari, simmetrica rispetto all'asse $y$.

2. 2

   Intersezioni con gli assi e segno

   Asse $y$ ($x=0$): $f(0)=\frac{1}{0-1}=-1$.

   Punto $(0,-1)$.

   Asse $x$: $f(x)=0$ non ha soluzioni perché il numeratore è costante $1$.

   Studio del segno: $f(x)>0$ quando $x^2-1>0$, cioè $|x|>1$.

   $f(x)<0$ per $|x|<1$, escludendo i punti di discontinuità.

   Quindi:

   - Positiva: $x<-1$ e $x>1$. - Negativa: $-1<x<1$.

3. 3

   Limiti e asintoti

   Calcoliamo i limiti agli estremi del dominio.

   Per $x\to \pm \infty$: $x^2$ domina, quindi $f(x)\to 0^{+}$.

   Asintoto orizzontale: $y=0$ (l'asse $x$).

   Per $x\to -1^{-}$ e $x\to 1^{+}$: $x^2-1\to 0^{+}$, quindi $f(x)\to +\infty$.

   Per $x\to -1^{+}$ e $x\to 1^{-}$: $x^2-1\to 0^{-}$, quindi $f(x)\to -\infty$.

   Asintoti verticali: $x=-1$ e $x=1$.

   $$\underset{x\to -1^{-}}{\lim }f(x)=+\infty ,\underset{x\to -1^{+}}{\lim }f(x)=-\infty ,$$

   $$\underset{x\to 1^{-}}{\lim }f(x)=-\infty ,\underset{x\to 1^{+}}{\lim }f(x)=+\infty .$$
4. 4

   Derivata prima, crescenza e decrescenza, massimi/minimi

   Deriviamo $f(x)=(x^2-1{)}^{-1}$:

   $$f^{\prime }(x)=-1\cdot (x^2-1{)}^{-2}\cdot 2x=-\frac{2x}{(x^2-1{)}^2}.$$

   Il denominatore $(x^2-1{)}^2>0$ per ogni $x\ne \pm 1$, quindi il segno di $f^{\prime }(x)$ è opposto al segno di $x$: - $f^{\prime }(x)>0$ per $x<0$ (funzione crescente), - $f^{\prime }(x)<0$ per $x>0$ (funzione decrescente).

   Punti critici: $f^{\prime }(x)=0$ quando $x=0$ (annulla il numeratore) ed è interno al dominio.

   Analizziamo la natura: per $x<0$ piccoli, $f^{\prime }>0$; per $x>0$ piccoli, $f^{\prime }<0$.

   Quindi $x=0$ è un punto di massimo relativo, con $f(0)=-1$.

   Riassumendo: - Crescenza: $(-\infty ,-1)$ e $(-1,0)$. - Decrescenza: $(0,1)$ e $(1,+\infty )$. - Massimo relativo: $(0,-1)$.

5. 5

   Descrizione del grafico (con verifica della derivata seconda)

   La funzione è pari, con due asintoti verticali in $x=-1$ e $x=1$ e asintoto orizzontale $y=0$.

   Per $x\to -\infty$, $f(x)$ si avvicina a $0$ da sopra, poi cresce fino a $+\infty$ in $x=-1^{-}$.

   Superato l'asintoto, da $-1^{+}$ la funzione parte da $-\infty$, cresce fino al massimo in $(0,-1)$, poi decresce fino a $-\infty$ in $x=1^{-}$.

   A destra di $1$, $f(x)$ scende da $+\infty$ a $0$ per $x\to +\infty$.

   Derivata seconda (non richiesta ma utile per concavità):

   $$f^{\prime \prime }(x)=\frac{2(3x^2+1)}{(x^2-1{)}^3}.$$

   Il numeratore è sempre positivo, quindi il segno di $f^{\prime \prime }$ è quello di $(x^2-1{)}^3$: - Per $|x|>1$, $f^{\prime \prime }>0$ (convessa). - Per $|x|<1$, $f^{\prime \prime }<0$ (concava).

   Non ci sono punti di flesso.

   Verifica del massimo: $f(0)=-1$ è il valore massimo nell'intervallo $(-1,1)$; per $x\ne 0$, $1-x^2<1$ (positivo) quindi $f(x)=-1/(1-x^2)<-1$, confermando che $f(0)>f(x)$ nelle vicinanze.

Domande frequenti

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