Studio di $f(x)=x^3-3\cdot x$

Studio completo passo-passo

1. 1

   Dominio

   La funzione $f(x)=x^3-3x$ è un polinomio di terzo grado.

   Il dominio di una funzione polinomiale è l'insieme di tutti i numeri reali, quindi:

   $$\text{Dominio}=\mathbb{R}$$

   Non esistono punti di discontinuità o restrizioni.

2. 2

   Simmetrie

   Verifichiamo se la funzione è pari, dispari o nessuna delle due.

   Calcoliamo $f(-x)$:

   $$f(-x)=(-x{)}^3-3(-x)=-x^3+3x=-(x^3-3x)=-f(x)$$

   Poiché $f(-x)=-f(x)$, la funzione è dispari.

   Il suo grafico è simmetrico rispetto all'origine degli assi.

3. 3

   Intersezioni con gli assi

   - **Intersezione con l'asse $y$** ($x=0$): $f(0)=0$.

   Punto $(0,0)$. - **Intersezioni con l'asse $x$** ($f(x)=0$):

   $$x^3-3x=0\Rightarrow x(x^2-3)=0\Rightarrow x=0,x=\pm \sqrt{3}$$

   Punti: $(-\sqrt{3},0)$, $(0,0)$, $(\sqrt{3},0)$.

4. 4

   Segno della funzione

   Scomponiamo $f(x)=x(x-\sqrt{3})(x+\sqrt{3})$.

   Studiamo il segno di ciascun fattore e il prodotto:

   - Per $x<-\sqrt{3}$: $x<0$, $(x-\sqrt{3})<0$, $(x+\sqrt{3})<0$ → prodotto negativo → $f(x)<0$. - Per $-\sqrt{3}<x<0$: $x<0$, $(x-\sqrt{3})<0$, $(x+\sqrt{3})>0$ → prodotto positivo → $f(x)>0$. - Per $0<x<\sqrt{3}$: $x>0$, $(x-\sqrt{3})<0$, $(x+\sqrt{3})>0$ → prodotto negativo → $f(x)<0$. - Per $x>\sqrt{3}$: tutti positivi → $f(x)>0$.

   In sintesi:

   $$f(x)>0\text{per}x\in (-\sqrt{3},0)\cup (\sqrt{3},\infty ),f(x)<0\text{per}x\in (-\infty ,-\sqrt{3})\cup (0,\sqrt{3})$$

   (Verifica: $f(-2)=-2<0$, $f(-1)=2>0$, $f(1)=-2<0$, $f(2)=2>0$)

5. 5

   Limiti agli estremi del dominio e asintoti

   La funzione è definita su tutto $\mathbb{R}$, quindi consideriamo i limiti per $x\to \pm \infty$:

   $$\underset{x\to +\infty }{\lim }(x^3-3x)=+\infty ,\underset{x\to -\infty }{\lim }(x^3-3x)=-\infty$$

   Non esistono asintoti verticali (nessun punto di discontinuità) né orizzontali (i limiti sono infiniti).

   Poiché il grado del polinomio è maggiore di 1, non vi sono asintoti obliqui.

   Il comportamento è quello tipico di una cubica con coefficiente direttivo positivo.

6. 6

   Derivata prima, crescenza/decrescenza e punti critici

   Calcoliamo la derivata prima:

   $$f^{\prime }(x)=3x^2-3=3(x^2-1)=3(x-1)(x+1)$$

   I punti critici si ottengono ponendo $f^{\prime }(x)=0$: $x=1$ e $x=-1$ (entrambi interni al dominio).

   Studiamo il segno della derivata:

   - Per $x<-1$ (es.

   $x=-2$): $f^{\prime }(-2)=3(4-1)=9>0$ → $f$ crescente. - Per $-1<x<1$ (es.

   $x=0$): $f^{\prime }(0)=-3<0$ → $f$ decrescente. - Per $x>1$ (es.

   $x=2$): $f^{\prime }(2)=3(4-1)=9>0$ → $f$ crescente.

   Quindi:

   - $f$ è crescente su $(-\infty ,-1]$ e $[1,\infty )$. - $f$ è decrescente su $[-1,1]$.

   I punti critici sono: - $x=-1$: la derivata passa da $+$ a $-$ → massimo locale.

   $f(-1)=(-1{)}^3-3(-1)=-1+3=2$.

   Punto $(-1,2)$. - $x=1$: la derivata passa da $-$ a $+$ → minimo locale.

   $f(1)=1-3=-2$.

   Punto $(1,-2)$.

   (La simmetria dispari è rispettata: il massimo e il minimo sono simmetrici rispetto all'origine.)

7. 7

   Descrizione del grafico

   Il grafico di $f(x)=x^3-3x$ è una cubica con le seguenti caratteristiche: - Dominio $\mathbb{R}$ e simmetria dispari (centro nell'origine). - Intersezioni con gli assi in $(-\sqrt{3},0)$, $(0,0)$ e $(\sqrt{3},0)$. - Segno: positiva per $x\in (-\sqrt{3},0)\cup (\sqrt{3},\infty )$, negativa altrove. - Comportamento agli estremi: $f(x)\to -\infty$ per $x\to -\infty$, $f(x)\to +\infty$ per $x\to +\infty$; nessun asintoto. - La funzione cresce fino al massimo in $(-1,2)$, decresce fino al minimo in $(1,-2)$, poi cresce di nuovo. - Il grafico ha quindi la classica forma a "S" (ondulata) con un massimo e un minimo locali, tipica di una cubica con tre radici reali.

Domande frequenti

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