Studio di $f(x)=x^3-3\cdot x^2$

Studio completo passo-passo

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   Dominio e simmetrie

   La funzione $f(x)=x^3-3x^2$ è un polinomio, quindi definita per ogni $x\in \mathbb{R}$.

   Il dominio è $\mathbb{R}$.

   Verifichiamo eventuali simmetrie: $f(-x)=(-x{)}^3-3(-x{)}^2=-x^3-3x^2$.

   Non vale $f(-x)=f(x)$ (funzione pari) né $f(-x)=-f(x)$ (funzione dispari).

   La funzione non presenta simmetrie particolari.

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   Intersezioni con gli assi e segno

   Intersezione asse $y$: $f(0)=0$, quindi punto $(0,0)$.

   Intersezioni asse $x$: risolviamo $x^3-3x^2=0⟹x^2(x-3)=0$, da cui $x=0$ (con molteplicità 2) e $x=3$.

   I punti sono $(0,0)$ e $(3,0)$.

   Segno della funzione: scomponendo $f(x)=x^2(x-3)$.

   Il fattore $x^2$ è sempre $\ge 0$ e si annulla in $x=0$.

   Il segno è quindi determinato da $(x-3)$: - $x<3$ (con $x\ne 0$): $x-3<0$ e $x^2>0$ $⟹f(x)<0$ - $x=0$: $f(0)=0$ - $x>3$: $x-3>0$ $⟹f(x)>0$ In sintesi: la funzione è negativa per $x<3$ (tranne $x=0$ dove vale $0$) e positiva per $x>3$.

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   Limiti agli estremi del dominio e asintoti

   Essendo un polinomio di grado dispari con coefficiente direttivo positivo, i limiti sono:

   $$\underset{x\to +\infty }{\lim }(x^3-3x^2)=+\infty ,\underset{x\to -\infty }{\lim }(x^3-3x^2)=-\infty .$$

   Non vi sono asintoti orizzontali, verticali o obliqui (il grado del numeratore è maggiore di quello del denominatore di 1, ma non siamo in presenza di una frazione; per polinomi non esistono asintoti obliqui nel senso classico).

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   Derivata prima, crescenza/decrescenza e punti critici

   Calcoliamo la derivata prima:

   $$f^{\prime }(x)=3x^2-6x=3x(x-2).$$

   Studiamo il segno di $f^{\prime }(x)$: - $f^{\prime }(x)>0$ quando $x<0$ oppure $x>2$ (intervalli di crescenza); - $f^{\prime }(x)<0$ quando $0<x<2$ (intervallo di decrescenza); - $f^{\prime }(x)=0$ per $x=0$ e $x=2$, che sono punti stazionari.

   Punti critici: - $x=0$: la derivata passa da positiva (crescente) a negativa (decrescente) $⟹$ massimo locale.

   $f(0)=0$. - $x=2$: la derivata passa da negativa a positiva $⟹$ minimo locale.

   $f(2)=8-12=-4$.

   Conferma con derivata seconda: $f^{\prime \prime }(x)=6x-6$, $f^{\prime \prime }(0)=-6<0$ (massimo), $f^{\prime \prime }(2)=6>0$ (minimo).

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   Descrizione del grafico

   La funzione $f(x)=x^3-3x^2$ è una cubica che: - parte da $-\infty$ per $x\to -\infty$; - cresce fino al punto di massimo relativo $(0,0)$, dove tocca l'asse $x$ con tangente orizzontale (radice doppia); - decresce fino al minimo relativo $(2,-4)$; - risale, attraversa l'asse $x$ in $x=3$ (radice semplice) e tende a $+\infty$ per $x\to +\infty$.

   Il grafico è simmetrico rispetto a $(1,-2)$?

   No, ma presenta un flesso in $x=1$ (dove $f^{\prime \prime }(x)=0$): $f(1)=1-3=-2$, punto di flesso discendente (la concavità cambia da negativa a positiva).

   In sintesi: un massimo in $(0,0)$, un minimo in $(2,-4)$ e un flesso in $(1,-2)$.

Domande frequenti

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