Studio di $f(x)=\frac{x}{\left(x^2-1\right)}$

Studio completo passo-passo

1. 1

   Dominio

   La funzione è razionale fratta.

   Il denominatore non può annullarsi:

   $$x^2-1=0⟹x=\pm 1$$

   Pertanto il dominio è $\mathbb{R}\setminus \{-1,1\}$, cioè:

   $$(-\infty ,-1)\cup (-1,1)\cup (1,+\infty )$$
2. 2

   Simmetrie

   Verifichiamo l'eventuale simmetria:

   $$f(-x)=\frac{-x}{(-x{)}^2-1}=\frac{-x}{x^2-1}=-f(x)$$

   La funzione è dispari: il grafico è simmetrico rispetto all'origine.

   Basterà studiare il comportamento per $x\ge 0$ e poi ribaltare.

3. 3

   Intersezioni con gli assi

   - **Asse $x$** ($y=0$): $f(x)=0\Rightarrow x=0$, quindi il punto $(0,0)$. - **Asse $y$** ($x=0$): $f(0)=\frac{0}{-1}=0$, stesso punto $(0,0)$.

4. 4

   Segno della funzione

   Studiamo il segno di $f(x)=\frac{x}{(x-1)(x+1)}$ nei tre intervalli separati dai punti critici $-1,0,1$: - $x<-1$: $x<0$, $(x-1)<0$, $(x+1)<0$ $\Rightarrow$ $\frac{-}{(-)(-)}=\frac{-}{+}<0$. - $-1<x<0$: $x<0$, $(x-1)<0$, $(x+1)>0$ $\Rightarrow$ $\frac{-}{(-)(+)}=\frac{-}{-}>0$. - $0<x<1$: $x>0$, $(x-1)<0$, $(x+1)>0$ $\Rightarrow$ $\frac{+}{(-)(+)}=\frac{+}{-}<0$. - $x>1$: $x>0$, $(x-1)>0$, $(x+1)>0$ $\Rightarrow$ $\frac{+}{(+)(+)}>0$.

   Quindi $f(x)<0$ per $x\in (-\infty ,-1)\cup (0,1)$, $f(x)>0$ per $x\in (-1,0)\cup (1,+\infty )$, e $f(0)=0$.

5. 5

   Limiti e asintoti

   Limiti all'infinito:

   $$\underset{x\to \pm \infty }{\lim }\frac{x}{x^2-1}=\underset{x\to \pm \infty }{\lim }\frac{1}{x}=0$$

   Asintoto orizzontale $y=0$ (sia a $-\infty$ che a $+\infty$).

   Limiti agli estremi finiti: - $x\to -1^{-}$: $(x+1)\to 0^{-}$, $(x-1)\to -2$ $\Rightarrow$ denominatore $\to 0^{+}$, numeratore $\to -1$ $\Rightarrow$ $f(x)\to -\infty$. - $x\to -1^{+}$: $(x+1)\to 0^{+}$, denominatore $\to 0^{-}$ $\Rightarrow$ $f(x)\to +\infty$. - $x\to 1^{-}$: $(x-1)\to 0^{-}$, denominatore $\to 0^{-}$, numeratore $\to 1$ $\Rightarrow$ $f(x)\to -\infty$. - $x\to 1^{+}$: $(x-1)\to 0^{+}$, denominatore $\to 0^{+}$, numeratore $\to 1$ $\Rightarrow$ $f(x)\to +\infty$.

   Dunque $x=-1$ e $x=1$ sono asintoti verticali.

6. 6

   Derivata prima, crescenza/decrescenza e punti stazionari

   Calcoliamo la derivata prima applicando la regola del quoziente:

   $$f^{\prime }(x)=\frac{1\cdot (x^2-1)-x\cdot (2x)}{(x^2-1{)}^2}=\frac{x^2-1-2x^2}{(x^2-1{)}^2}=\frac{-x^2-1}{(x^2-1{)}^2}=-\frac{x^2+1}{(x^2-1{)}^2}$$

   Poiché $x^2+1>0$ e $(x^2-1{)}^2>0$ per ogni $x\ne \pm 1$, si ha $f^{\prime }(x)<0$ su tutto il dominio.

   La funzione è strettamente decrescente in ciascuno degli intervalli $(-\infty ,-1)$, $(-1,1)$, $(1,+\infty )$.

   Non vi sono punti stazionari (la derivata non si annulla mai), quindi nessun massimo o minimo relativo.

7. 7

   Descrizione del grafico

   Il grafico si compone di tre rami separati dagli asintoti verticali $x=-1$ e $x=1$: - Per $x<-1$: $f(x)$ parte da $0^{-}$ (sotto l'asse $x$) per $x\to -\infty$, poi decresce fino a $-\infty$ quando $x\to -1^{-}$. - Per $-1<x<1$: la funzione viene da $+\infty$ (per $x\to -1^{+}$), decresce passando per l'origine $(0,0)$ e scende fino a $-\infty$ per $x\to 1^{-}$. - Per $x>1$: riparte da $+\infty$ (per $x\to 1^{+}$) e decresce fino a $0^{+}$ (avvicinandosi all'asintoto orizzontale $y=0$ da sopra).

   Grazie alla simmetria dispari, il ramo sinistro è il simmetrico del ramo destro rispetto all'origine.

   La derivata sempre negativa conferma la monotonia decrescente su ogni intervallo.

Domande frequenti

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