Studio di $f(x)=\frac{\left(x^2-1\right)}{x}$

Studio completo passo-passo

1. 1

   Dominio e semplificazione

   La funzione è definita per $x\ne 0$, quindi il dominio è $(-\infty ,0)\cup (0,+\infty )$.

   Possiamo semplificare l'espressione:

   $$f(x)=\frac{x^2-1}{x}=x-\frac{1}{x}$$
2. 2

   Simmetrie

   Studiamo la parità:

   $$f(-x)=\frac{(-x{)}^2-1}{-x}=\frac{x^2-1}{-x}=-\frac{x^2-1}{x}=-f(x)$$

   La funzione è dispari, quindi simmetrica rispetto all'origine.

3. 3

   Intersezioni con gli assi

   Asse $x$ ($y=0$):

   $$\frac{x^2-1}{x}=0\Rightarrow x^2-1=0\Rightarrow x=\pm 1$$

   I punti sono $(-1,0)$ e $(1,0)$.

   Asse $y$ ($x=0$): non esiste, perché $x=0$ non appartiene al dominio.

4. 4

   Segno della funzione

   Studiamo il prodotto dei segni di numeratore $N=x^2-1$ e denominatore $D=x$:

   - $N>0$ per $x<-1$ o $x>1$, $N<0$ per $-1<x<1$; - $D>0$ per $x>0$, $D<0$ per $x<0$.

   Analizziamo gli intervalli:

   $$\begin{array}{cccc}\text{Intervallo}& N& D& f(x)=\frac{N}{D}\\ x<-1& +& -& -\\ -1<x<0& -& -& +\\ 0<x<1& -& +& -\\ x>1& +& +& +\end{array}$$

   Conclusione: $f(x)>0$ per $x\in (-1,0)\cup (1,\infty )$, $f(x)<0$ per $x\in (-\infty ,-1)\cup (0,1)$, e $f(x)=0$ per $x=\pm 1$.

5. 5

   Limiti agli estremi del dominio e asintoti

   Calcoliamo i limiti all'infinito e in prossimità dello zero:

   $$\underset{x\to -\infty }{\lim }f(x)=\underset{x\to -\infty }{\lim }\left(x-\frac{1}{x}\right)=-\infty$$

   $$\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=+\infty$$

   $$\underset{x\to 0^{-}}{\lim }f(x)=\underset{x\to 0^{-}}{\lim }\left(x-\frac{1}{x}\right)=0-(-\infty )=+\infty$$

   $$\underset{x\to 0^{+}}{\lim }f(x)=0-(+\infty )=-\infty$$

   Quindi $x=0$ è un asintoto verticale.

   Per $x\to \pm \infty$, osserviamo che $f(x)-x=-\frac{1}{x}\to 0$, quindi la retta $y=x$ è un asintoto obliquo (sia a $-\infty$ che a $+\infty$).

   Verifica: $\underset{x\to \pm \infty }{\lim }(f(x)-x)=\underset{x\to \pm \infty }{\lim }\left(-\frac{1}{x}\right)=0$.

6. 6

   Derivata prima, crescenza/decrescenza e massimi/minimi

   Calcoliamo la derivata prima usando la forma semplificata $f(x)=x-x^{-1}$:

   $$f^{\prime }(x)=1+\frac{1}{x^2}$$

   Verifica con la regola del quoziente sulla forma originale:

   $$f^{\prime }(x)=\frac{2x\cdot x-(x^2-1)\cdot 1}{x^2}=\frac{2x^2-x^2+1}{x^2}=\frac{x^2+1}{x^2}=1+\frac{1}{x^2}$$

   Poiché $f^{\prime }(x)>0$ per ogni $x\ne 0$, la funzione è strettamente crescente in ciascun intervallo del dominio: $(-\infty ,0)$ e $(0,+\infty )$.

   Non esistono punti critici, quindi non vi sono massimi o minimi locali.

7. 7

   Descrizione del grafico

   La funzione è dispari, con due rami separati dall'asintoto verticale $x=0$. - Per $x\to -\infty$: $f(x)\to -\infty$ e la curva si avvicina all'asintoto $y=x$ dall'alto (perché $f(x)-x=-\frac{1}{x}>0$ quando $x<0$). - Nell'intervallo $(-\infty ,0)$ la funzione è crescente, passa per $(-1,0)$ e poi sale a $+\infty$ quando $x\to 0^{-}$. - Per $x\to 0^{+}$: $f(x)\to -\infty$, poi cresce, passa per $(1,0)$ e tende a $+\infty$ per $x\to +\infty$, avvicinandosi all'asintoto $y=x$ dal basso ($f(x)-x<0$ per $x>0$).

   In sintesi: un ramo "iperbolico" crescente che interseca gli assi in $x=\pm 1$, con asintoto verticale $x=0$ e asintoto obliquo $y=x$.

Domande frequenti

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