Quali sono le derivate notevoli da sapere a memoria?

Le derivate notevoli fondamentali sono: D[xⁿ] = n·xⁿ⁻¹, D[eˣ] = eˣ, D[ln x] = 1/x, D[sin x] = cos x, D[cos x] = −sin x, D[tan x] = 1/cos²x, D[arcsin x] = 1/√(1−x²), D[arctan x] = 1/(1+x²), D[aˣ] = aˣ·ln a. Ogni formula ha anche una forma generalizzata per funzioni composte da usare con la Regola della Catena.

Come funziona la forma generalizzata di una derivata?

La forma generalizzata si usa quando l'argomento della funzione non è semplicemente "x" ma una funzione composta g(x). Si applica la Regola della Catena: si deriva la funzione esterna lasciando invariato l'interno, e si moltiplica per la derivata dell'interno g'(x). Esempio: D[sin(x²)] = cos(x²) · 2x.

Dove posso scaricare la tabella delle derivate in PDF?

La tabella completa delle derivate notevoli è disponibile gratuitamente su TuttoCalcolo in formato PDF ad alta risoluzione, scaricabile dalla pagina /education/analisi1/derivate/tabella. Include tutte le derivate fondamentali e le relative forme generalizzate.

Qual è la derivata di x elevato a n (regola della potenza)?

La derivata di xⁿ è n·xⁿ⁻¹. Si moltiplica per l'esponente e si abbassa l'esponente di 1. La forma generalizzata è D[[f(x)]ⁿ] = n·[f(x)]ⁿ⁻¹·f'(x). Questa regola vale per qualsiasi esponente reale n diverso da zero.

Edu/Analisi 1/Derivate

Le Derivate Fondamentali

I mattoni dell'Analisi Matematica. Salva la tabella con le forme generalizzate e scopri come ricavare ogni formula dal limite del rapporto incrementale.

La Tabella Universale

Studia soprattutto la colonna delle forme generalizzate: è quella che applicherai negli esercizi reali.

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Funzione $f(x)$	Derivata $f'(x)$	Esempio Pratico	Forma Generalizzata $D[g(f(x))]$
1. Costanti, Potenze e Radici
$k$	$0$	$D[5] = 0$	-
$x$	$1$	$D[3x] = 3$	$D[f(x)] = f'(x)$
$x^n$	$n x^{n-1}$	$D[x^3] = 3x^2$	$D[[f(x)]^n] = n[f(x)]^{n-1} \cdot f'(x)$
$\sqrt{x}$	$\frac{1}{2\sqrt{x}}$	-	$D[\sqrt{f(x)}] = \frac{f'(x)}{2\sqrt{f(x)}}$
$\frac{1}{x}$	$-\frac{1}{x^2}$	-	$D\left[\frac{1}{f(x)}\right] = -\frac{f'(x)}{[f(x)]^2}$
2. Esponenziali e Logaritmi
$e^x$	$e^x$	$D[e^{2x}] = e^{2x} \cdot 2$	$D[e^{f(x)}] = e^{f(x)} \cdot f'(x)$
$a^x$	$a^x \ln a$	$D[3^x] = 3^x \ln 3$	$D[a^{f(x)}] = a^{f(x)} \ln a \cdot f'(x)$
$\ln x$	$\frac{1}{x}$	$D[\ln(x^2)] = \frac{1}{x^2} \cdot 2x$	$D[\ln(f(x))] = \frac{f'(x)}{f(x)}$
$\log_a x$	$\frac{1}{x \ln a}$	$D[\log_2 x] = \frac{1}{x \ln 2}$	$D[\log_a(f(x))] = \frac{f'(x)}{f(x) \ln a}$
3. Funzioni Goniometriche e Inverse
$\sin x$	$\cos x$	$D[\sin(3x)] = \cos(3x) \cdot 3$	$D[\sin(f(x))] = \cos(f(x)) \cdot f'(x)$
$\cos x$	$-\sin x$	$D[\cos(x^2)] = -\sin(x^2) \cdot 2x$	$D[\cos(f(x))] = -\sin(f(x)) \cdot f'(x)$
$\tan x$	$\frac{1}{\cos^2 x}$	-	$D[\tan(f(x))] = \frac{f'(x)}{\cos^2(f(x))}$
$\cot x$	$-\frac{1}{\sin^2 x}$	-	$D[\cot(f(x))] = -\frac{f'(x)}{\sin^2(f(x))}$
$\arcsin x$	$\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$	-	$D[\arcsin(f(x))] = \frac{f'(x)}{\sqrt{1 - [f(x)]^2}}$
$\arccos x$	$-\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$	-	$D[\arccos(f(x))] = -\frac{f'(x)}{\sqrt{1 - [f(x)]^2}}$
$\arctan x$	$\frac{1}{1 + x^2}$	$D[\arctan(2x)] = \frac{2}{1+4x^2}$	$D[\arctan(f(x))] = \frac{f'(x)}{1 + [f(x)]^2}$

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Non cadono dal cielo! Ogni derivata fondamentale è il risultato del limite del rapporto incrementale calcolato per quella specifica funzione. Clicca per vedere le dimostrazioni chiave.

Dimostrazioni: Costanti e Potenze

La Costante

D[k] = 0

La derivata di un numero fisso è sempre zero.

Vedi Calcolo ↓

Calcolo con Rapporto Incrementale

La funzione è $f(x) = k$ . Significa che, qualsiasi sia la $x$ , la funzione vale sempre $k$ .

Impostiamo il limite del rapporto incrementale:

\lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{k - k}{h}

Poiché $k - k = 0$ esatto (non un numero che "tende" a zero, ma proprio zero), il limite del rapporto è $\frac{0}{h} = 0$ . Geometricamente: la retta è piatta, quindi la pendenza è nulla!

Identità

D[x] = 1

La derivata della x liscia.

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Calcolo con Rapporto Incrementale

La funzione è $f(x) = x$ . Valutiamo in $x+h$ e in $x$ :

\lim_{h \to 0} \frac{(x + h) - x}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{h}{h}

Semplificando la frazione, otteniamo $\lim_{h \to 0} 1 = 1$ . Geometricamente: è la bisettrice del primo e terzo quadrante, che ha pendenza costante pari a 1.

La Potenza (Regola Generale)

D[x^n] = n x^{n-1}

Scende l'esponente, e si abbassa di un grado.

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Calcolo con Rapporto Incrementale

Dimostriamolo per un numero intero $n$ . Usiamo il prodotto notevole della differenza di potenze, o il binomio di Newton per $(x+h)^n$ :

\lim_{h \to 0} \frac{(x + h)^n - x^n}{h}

Sviluppando il binomio, il primo termine è $x^n$ (che si cancella con il $-x^n$ ), il secondo è $n x^{n-1}h$ , e tutti gli altri hanno $h^2$ , $h^3$ , ecc.:

\lim_{h \to 0} \frac{n x^{n-1}h + h^2(\dots)}{h}

Semplificando la $h$ al denominatore, rimane $n x^{n-1} + h(\dots)$ . Quando $h \to 0$ , tutti i pezzi con la $h$ svaniscono, lasciando solo $n x^{n-1}$ .

Dimostrazioni: Esponenziali e Logaritmi

Esponenziale Naturale

D[e^x] = e^x

L'unica funzione che è la derivata di se stessa.

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Calcolo con Rapporto Incrementale

La funzione è $f(x) = e^x$ . Scriviamo il rapporto incrementale:

\lim_{h \to 0} \frac{e^{x+h} - e^x}{h}

Sfruttiamo le proprietà delle potenze: $e^{x+h} = e^x \cdot e^h$ . Possiamo quindi raccogliere $e^x$ al numeratore:

\lim_{h \to 0} \frac{e^x(e^h - 1)}{h} = e^x \cdot \lim_{h \to 0} \frac{e^h - 1}{h}

Il pezzo con il limite è esattamente il limite notevole dell'esponenziale, che vale 1. Quindi $e^x \cdot 1 = e^x$ .

Logaritmo Naturale

D[\ln x] = \frac{1}{x}

La derivata del logaritmo.

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Calcolo con Rapporto Incrementale

La funzione è $f(x) = \ln x$ . Impostiamo il rapporto incrementale:

\lim_{h \to 0} \frac{\ln(x+h) - \ln(x)}{h}

Usiamo la proprietà dei logaritmi ( $\ln A - \ln B = \ln(A/B)$ ):

\lim_{h \to 0} \frac{1}{h} \ln\left(\frac{x+h}{x}\right) = \lim_{h \to 0} \frac{1}{h} \ln\left(1 + \frac{h}{x}\right)

Moltiplicando e dividendo per $x$ per ricondurci al limite notevole $\frac{\ln(1+t)}{t} \to 1$ (con $t = \frac{h}{x}$ ), il risultato salta fuori pulito: $\frac{1}{x}$ .

Dimostrazioni: Goniometriche

Il Seno

D[\sin x] = \cos x

Si scambia con il coseno.

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Calcolo con Rapporto Incrementale

La funzione è $f(x) = \sin x$ . Il rapporto incrementale è:

\lim_{h \to 0} \frac{\sin(x+h) - \sin x}{h}

Usiamo le formule di addizione del seno per espandere $\sin(x+h) = \sin x \cos h + \cos x \sin h$ :

\lim_{h \to 0} \frac{\sin x \cos h + \cos x \sin h - \sin x}{h}

Raccogliamo $\sin x$ tra il primo e l'ultimo termine e separiamo in due limiti:

\sin x \left[ \lim_{h \to 0} \frac{\cos h - 1}{h} \right] + \cos x \left[ \lim_{h \to 0} \frac{\sin h}{h} \right]

I due limiti tra parentesi quadre sono i limiti notevoli! Il primo vale 0, il secondo vale 1. Quindi otteniamo: $\sin x \cdot 0 + \cos x \cdot 1 = \cos x$ .

Il Coseno

D[\cos x] = -\sin x

Attenzione al segno meno!

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Calcolo con Rapporto Incrementale

Si dimostra in modo identico al seno, usando la formula di addizione del coseno: $\cos(x+h) = \cos x \cos h - \sin x \sin h$ .

\lim_{h \to 0} \frac{\cos x \cos h - \sin x \sin h - \cos x}{h}

Raccogliendo $\cos x$ e separando:

\cos x \left[ \lim_{h \to 0} \frac{\cos h - 1}{h} \right] - \sin x \left[ \lim_{h \to 0} \frac{\sin h}{h} \right]

Di nuovo, i limiti notevoli fanno 0 e 1. Rimane solo $-\sin x$ .

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