Studio di $f(x)=\frac{1}{\left(x^2+1\right)}$

Studio completo passo-passo

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   Dominio e simmetrie

   Il denominatore $x^2+1$ è sempre positivo per ogni $x\in \mathbb{R}$, poiché $x^2\ge 0$ implica $x^2+1\ge 1>0$.

   Non ci sono quindi punti di discontinuità.

   Il dominio è tutto l’asse reale:

   $$\mathcal{D}=\mathbb{R}$$

   Per verificare eventuali simmetrie calcoliamo $f(-x)$:

   $$f(-x)=\frac{1}{(-x{)}^2+1}=\frac{1}{x^2+1}=f(x)$$

   La funzione è pari, pertanto il suo grafico è simmetrico rispetto all’asse $y$.

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   Intersezioni con gli assi e segno

   **Intersezione con l’asse $y$** (ponendo $x=0$):

   $$f(0)=\frac{1}{0^2+1}=1$$

   Il punto è $A(0,1)$.

   **Intersezioni con l’asse $x$** (ponendo $f(x)=0$):

   $$\frac{1}{x^2+1}=0$$

   L’equazione non ha soluzioni reali perché il numeratore è $1\ne 0$.

   Non vi sono intersezioni con l’asse $x$.

   Segno: Poiché il numeratore ($1$) e il denominatore ($x^2+1$) sono sempre positivi, $f(x)>0$ per ogni $x\in \mathbb{R}$.

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   Limiti agli estremi del dominio e asintoti

   Calcoliamo i limiti per $x\to \pm \infty$:

   $$\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{1}{x^2+1}=0,\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{1}{x^2+1}=0$$

   La retta $y=0$ (l’asse $x$) è quindi un asintoto orizzontale completo (sia a $+\infty$ che a $-\infty$).

   Non esistono asintoti verticali perché il denominatore non si annulla mai.

   Non possono esserci asintoti obliqui poiché la funzione tende a un valore finito all’infinito.

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   Derivata prima, crescenza/decrescenza e punti stazionari

   Calcoliamo la derivata prima usando la regola di derivazione delle funzioni composte o la regola del quoziente:

   $$f^{\prime }(x)=\frac{d}{dx}\left((x^2+1{)}^{-1}\right)=-1\cdot (x^2+1{)}^{-2}\cdot 2x=-\frac{2x}{(x^2+1{)}^2}$$

   **Studio del segno di $f^{\prime }(x)$**: Il denominatore $(x^2+1{)}^2$ è sempre positivo.

   Il segno dipende quindi dal numeratore $-2x$:

   - $f^{\prime }(x)>0$ quando $-2x>0$, cioè $x<0$ (funzione crescente); - $f^{\prime }(x)<0$ quando $x>0$ (funzione decrescente); - $f^{\prime }(x)=0$ per $x=0$ (punto critico).

   Poiché la funzione è crescente prima e decrescente dopo, $x=0$ è un punto di massimo locale (e anche assoluto).

   Il valore massimo è $f(0)=1$.

   Non esistono minimi locali, ma l’estremo inferiore è $0$ (non raggiunto).

   Verifica: scegliamo un punto a sinistra, ad esempio $x=-1$: $f^{\prime }(-1)=\frac{2}{4}=0.5>0$ (crescente); a destra $x=1$: $f^{\prime }(1)=-\frac{2}{4}=-0.5<0$ (decrescente).

   Coerente.

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   Descrizione del grafico (e cenno alla concavità)

   Riassumendo le informazioni raccolte: - La funzione è sempre positiva, pari, definita su tutto $\mathbb{R}$. - Interseca l’asse $y$ in $(0,1)$; non interseca l’asse $x$. - Ha un massimo assoluto in $(0,1)$; è crescente per $x<0$ e decrescente per $x>0$. - L’asse $x$ ($y=0$) è asintoto orizzontale per $x\to \pm \infty$.

   Graficamente assume una forma a “campana” simmetrica, tipica della funzione di Gauss o di Lorentz.

   Per un’analisi più fine, la derivata seconda fornisce informazioni sulla concavità:

   $$f^{\prime \prime }(x)=\frac{2(3x^2-1)}{(x^2+1{)}^3}$$

   Essa si annulla per $x=\pm \frac{1}{\sqrt{3}}\approx \pm 0.577$.

   Per $|x|<1/\sqrt{3}$ si ha $f^{\prime \prime }(x)<0$ (concavità verso il basso), per $|x|>1/\sqrt{3}$ si ha $f^{\prime \prime }(x)>0$ (concavità verso l’alto).

   I due punti sono flessi.

   Il grafico completo è una curva regolare, con vertice in $(0,1)$, che scende lentamente verso l’asse $x$ e presenta due cambiamenti di concavità.

Domande frequenti

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