Studio di $f(x)=\frac{x}{\left(x-2\right)}$

Studio completo passo-passo

1. 1

   Dominio e Simmetrie

   La funzione $f(x)=\frac{x}{x-2}$ è razionale fratta.

   Il denominatore non può annullarsi: $x-2\ne 0$, quindi $x\ne 2$.

   Il dominio è $\mathbb{R}\setminus \{2\}$, ovvero $(-\infty ,2)\cup (2,+\infty )$.

   Verifichiamo simmetrie: $f(-x)=\frac{-x}{-x-2}=\frac{-x}{-(x+2)}=\frac{x}{x+2}$.

   Poiché $f(-x)\ne f(x)$ e $f(-x)\ne -f(x)$, la funzione non è né pari né dispari.

2. 2

   Intersezioni con gli assi e Segno

   Intersezione con l'asse $y$: poniamo $x=0$, $f(0)=\frac{0}{-2}=0$.

   Punto $(0,0)$.

   Intersezione con l'asse $x$: $f(x)=0\Rightarrow \frac{x}{x-2}=0\Rightarrow x=0$ (unico).

   Quindi l'unica intersezione è l'origine.

   Segno: studiamo il segno di $f(x)$.

   $$\frac{x}{x-2}>0$$

   Numeratore $x>0$, denominatore $x-2>0\Rightarrow x>2$.

   Costruiamo la tabella dei segni: - $x<0$: $x<0$, $x-2<0$ → rapporto positivo ($+$) - $0<x<2$: $x>0$, $x-2<0$ → rapporto negativo ($-$) - $x>2$: $x>0$, $x-2>0$ → rapporto positivo ($+$)

   Quindi $f(x)>0$ per $x<0$ e $x>2$; $f(x)<0$ per $0<x<2$.

   $f(0)=0$.

3. 3

   Limiti e Asintoti

   Calcoliamo i limiti agli estremi del dominio.

   Per $x\to \pm \infty$:

   $$\underset{x\to \pm \infty }{\lim }\frac{x}{x-2}=\underset{x\to \pm \infty }{\lim }\frac{1}{1-\frac{2}{x}}=1.$$

   Abbiamo un asintoto orizzontale $y=1$ sia per $x\to +\infty$ che per $x\to -\infty$.

   Per $x\to 2$:

   $$\underset{x\to 2^{-}}{\lim }\frac{x}{x-2}=\frac{2}{0^{-}}=-\infty ,\underset{x\to 2^{+}}{\lim }\frac{x}{x-2}=\frac{2}{0^{+}}=+\infty .$$

   Asintoto verticale $x=2$.

   Non ci sono asintoti obliqui poiché esiste già quello orizzontale.

4. 4

   Derivata Prima, Crescenza/Decrescenza, Estremi

   Calcoliamo la derivata prima usando la regola del quoziente o riscrivendo $f(x)=1+\frac{2}{x-2}$.

   $$f^{\prime }(x)=\frac{(1)(x-2)-x(1)}{(x-2{)}^2}=\frac{x-2-x}{(x-2{)}^2}=-\frac{2}{(x-2{)}^2}.$$

   Poiché il denominatore $(x-2{)}^2>0$ e il numeratore $-2<0$, si ha $f^{\prime }(x)<0$ per ogni $x\ne 2$.

   La funzione è strettamente decrescente su $(-\infty ,2)$ e su $(2,+\infty )$.

   Non esistono punti stazionari ($f^{\prime }(x)\ne 0$) e quindi nessun massimo o minimo relativo.

5. 5

   Descrizione del Grafico e Verifica

   La funzione $f(x)=\frac{x}{x-2}=1+\frac{2}{x-2}$ è un'iperbole equilatera traslata con centro in $(2,1)$, asintoti $x=2$ e $y=1$.

   Il grafico è composto da due rami: - Ramo di sinistra ($x<2$): decrescente, si avvicina a $y=1$ da sotto quando $x\to -\infty$ ($f(x)\to 1^{-}$) e va a $-\infty$ quando $x\to 2^{-}$.

   Passa per l'origine $(0,0)$ e assume valori positivi per $x<0$, negativi per $0<x<2$. - Ramo di destra ($x>2$): decrescente, parte da $+\infty$ quando $x\to 2^{+}$ e si avvicina a $y=1$ da sopra quando $x\to +\infty$ ($f(x)\to 1^{+}$).

   In questo ramo $f(x)>0$.

   Verifica: la derivata ricalcolata con la scrittura $1+2(x-2{)}^{-1}$ dà $f^{\prime }(x)=0-2(x-2{)}^{-2}=-\frac{2}{(x-2{)}^2}$, confermata.

   Limiti verificati con sostituzione.

   Nessun errore.

Domande frequenti

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