Studio di $f(x)=\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}$

Studio completo passo-passo

1. 1

   Dominio

   La funzione è definita quando il denominatore è non nullo e il radicando è non negativo.

   Il denominatore è $\sqrt{x^2+1}$: il radicando $x^2+1$ è sempre positivo, quindi la radice è sempre definita e diversa da zero.

   Di conseguenza:

   $$\text{Dominio}=\mathbb{R}$$
2. 2

   Simmetrie

   Calcoliamo $f(-x)$:

   $$f(-x)=\frac{-x}{\sqrt{(-x{)}^2+1}}=-\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}=-f(x)$$

   La funzione è dispari (simmetrica rispetto all'origine).

3. 3

   Intersezioni con gli assi

   - Asse $y$: $x=0\Rightarrow f(0)=0$, punto $(0,0)$. - Asse $x$: $f(x)=0\Rightarrow x=0$ (unica soluzione).

   Intersezione solo nell'origine.

4. 4

   Segno della funzione

   Il denominatore è sempre positivo, quindi il segno coincide con il numeratore $x$:

   - $f(x)>0$ per $x>0$ - $f(x)<0$ per $x<0$ - $f(x)=0$ per $x=0$

5. 5

   Limiti agli estremi del dominio e asintoti

   Calcoliamo i limiti per $x\to \pm \infty$:

   $$\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}}=1$$

   $$\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{1}{-\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}}=-1$$

   Dunque esistono due asintoti orizzontali: - $y=1$ per $x\to +\infty$ - $y=-1$ per $x\to -\infty$

   Non ci sono asintoti verticali (il denominatore non si annulla).

6. 6

   Derivata prima e monotonia

   Applichiamo la regola del quoziente:

   $$f^{\prime }(x)=\frac{1\cdot \sqrt{x^2+1}-x\cdot \frac{1}{2\sqrt{x^2+1}}\cdot 2x}{x^2+1}=\frac{\sqrt{x^2+1}-\frac{x^2}{\sqrt{x^2+1}}}{x^2+1}=\frac{\frac{x^2+1-x^2}{\sqrt{x^2+1}}}{x^2+1}=\frac{1}{(x^2+1{)}^{3/2}}$$

   Poiché $f^{\prime }(x)>0$ per ogni $x$, la funzione è strettamente crescente su $\mathbb{R}$.

   Non ci sono punti stazionari, quindi nessun massimo o minimo relativo.

7. 7

   Derivata seconda e concavità

   Calcoliamo la derivata seconda per completare lo studio:

   $$f^{\prime \prime }(x)=\frac{d}{dx}(x^2+1{)}^{-3/2}=-\frac{3}{2}(x^2+1{)}^{-5/2}\cdot 2x=-\frac{3x}{(x^2+1{)}^{5/2}}$$

   Segno di $f^{\prime \prime }(x)$: - $f^{\prime \prime }(x)>0$ per $x<0$ (funzione convessa, concavità verso l'alto) - $f^{\prime \prime }(x)<0$ per $x>0$ (funzione concava, concavità verso il basso) - $f^{\prime \prime }(0)=0$ e cambio segno, quindi punto di flesso nell'origine $(0,0)$.

8. 8

   Descrizione del grafico

   Il grafico è una curva dispari, crescente, compresa tra le rette $y=-1$ e $y=1$.

   Parte da vicino a $y=-1$ per $x\to -\infty$, passa per l'origine (dove ha un flesso), e tende a $y=1$ per $x\to +\infty$.

   È convessa per $x<0$ e concava per $x>0$.

Domande frequenti

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