Studio di $f(x)=x^4-4\cdot x^3$

Studio completo passo-passo

1. 1

   Dominio

   La funzione è un polinomio, definito per ogni $x\in \mathbb{R}$.

   Il dominio è tutto l'asse reale.

2. 2

   Simmetrie

   Verifichiamo:

   $$f(-x)=(-x{)}^4-4(-x{)}^3=x^4+4x^3.$$

   Poiché $f(-x)\ne f(x)$ e $f(-x)\ne -f(x)$, la funzione non è né pari né dispari.

3. 3

   Intersezioni con gli assi

   - **Asse $y$**: $x=0\Rightarrow f(0)=0$, punto $(0,0)$. - **Asse $x$**: $f(x)=0\Rightarrow x^4-4x^3=x^3(x-4)=0$.

   Soluzioni: $x=0$ (molteplicità 3) e $x=4$.

   Intersezioni: $(0,0)$ e $(4,0)$.

4. 4

   Segno della funzione

   Studiamo $f(x)=x^3(x-4)$.

   I fattori cambiano segno: - $x^3>0$ per $x>0$, $x^3<0$ per $x<0$. - $x-4>0$ per $x>4$, negativo per $x<4$.

   Pertanto: - $f(x)>0$ per $x<0$ o $x>4$; - $f(x)<0$ per $0<x<4$; - $f(x)=0$ in $x=0,4$.

5. 5

   Limiti agli estremi del dominio e asintoti

   I limiti per $x\to \pm \infty$ sono dominati dal termine $x^4$:

   $$\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=+\infty ,\underset{x\to -\infty }{\lim }f(x)=+\infty .$$

   Non esistono asintoti verticali (funzione continua su $\mathbb{R}$) né obliqui (grado del polinomio $>1$).

6. 6

   Derivata prima e monotonia

   Deriviamo:

   $$f^{\prime }(x)=4x^3-12x^2=4x^2(x-3).$$

   Il segno di $f^{\prime }(x)$ è determinato da $x-3$ poiché $4x^2\ge 0$ (zero solo in $x=0$): - $f^{\prime }(x)<0$ per $x<3$ (e $x\ne 0$); - $f^{\prime }(x)=0$ per $x=0$ e $x=3$; - $f^{\prime }(x)>0$ per $x>3$.

   Pertanto: - $f$ decrescente su $(-\infty ,3)$; - $f$ crescente su $(3,+\infty )$.

   Il punto $x=0$ è un punto critico (derivata nulla) ma non estremante (la derivata non cambia segno).

   In $x=3$ la derivata cambia da negativa a positiva, quindi è un minimo locale con valore $f(3)=3^4-4\cdot 27=81-108=-27$.

7. 7

   Descrizione del grafico

   La funzione è un polinomio di quarto grado con coefficiente positivo, tende a $+\infty$ a entrambi gli estremi.

   Interseca gli assi in $(0,0)$ e $(4,0)$.

   Presenta un minimo assoluto in $(3,-27)$.

   Per $x<0$ la funzione è positiva e decrescente fino a $0$; nell'intervallo $0<x<3$ è negativa e decrescente fino a $-27$; da $3$ a $4$ cresce da $-27$ a $0$; per $x>4$ cresce indefinitivamente.

   Il punto $x=0$ è un flesso orizzontale (derivata prima e seconda nulle, derivata terza non nulla).

Domande frequenti

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