Studio di $f(x)=\sqrt{x^2-4}$

Studio completo passo-passo

1. 1

   Dominio e simmetrie

   La radice quadrata richiede argomento non negativo:

   $$x^2-4\ge 0\Rightarrow x^2\ge 4\Rightarrow x\le -2\text{o}x\ge 2$$

   Dominio: $(-\infty ,-2]\cup [2,+\infty )$.

   Simmetria: $f(-x)=\sqrt{(-x{)}^2-4}=\sqrt{x^2-4}=f(x)$ → funzione pari.

   Basta studiare il ramo per $x\ge 2$ e poi riflettere rispetto all'asse $y$.

2. 2

   Intersezioni e segno

   Asse $x$: $f(x)=0\Rightarrow \sqrt{x^2-4}=0\Rightarrow x^2-4=0\Rightarrow x=\pm 2$.

   Punti $(-2,0)$ e $(2,0)$.

   Asse $y$: $x=0$ non nel dominio → nessuna intersezione.

   Segno: la radice quadrata restituisce valori $\ge 0$, quindi $f(x)\ge 0$ in tutto il dominio, nulla solo in $x=\pm 2$.

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   Limiti e asintoti

   Per $x\to +\infty$: $\sqrt{x^2-4}\sim x$, quindi $\underset{x\to +\infty }{\lim }(\sqrt{x^2-4}-x)=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{-4}{\sqrt{x^2-4}+x}=0$ → asintoto obliquo $y=x$.

   Per $x\to -\infty$: simmetria → asintoto $y=-x$; verifica: $\underset{x\to -\infty }{\lim }(\sqrt{x^2-4}+x)=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{-4}{\sqrt{x^2-4}-x}=0$.

   Agli estremi $x\to -2^{+}$ e $x\to 2^{+}$ (dall'interno del dominio) $f(x)\to 0$: nessun asintoto verticale.

4. 4

   Derivata prima e monotonia

   Derivata (per $x^2-4>0$, cioè $x<-2$ o $x>2$):

   $$f^{\prime }(x)=\frac{1}{2\sqrt{x^2-4}}\cdot 2x=\frac{x}{\sqrt{x^2-4}}$$

   Segno: - $x>2$: $x>0$, denominatore $>0$ → $f^{\prime }(x)>0$ → $f$ crescente su $[2,+\infty )$ - $x<-2$: $x<0$, denominatore $>0$ → $f^{\prime }(x)<0$ → $f$ decrescente su $(-\infty ,-2]$ Nessun punto stazionario interno; $x=\pm 2$ sono minimi assoluti con valore $0$.

5. 5

   Descrizione del grafico

   Il grafico è il ramo superiore dell'iperbole $\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{4}=1$ ($y\ge 0$).

   Due rami simmetrici rispetto all'asse $y$: il ramo destro parte da $(2,0)$, cresce e per $x\to +\infty$ si avvicina alla retta $y=x$; il ramo sinistro è l'immagine speculare, parte da $(-2,0)$, decresce (in valore assoluto cresce) con asintoto $y=-x$.

   Minimi assoluti in $(\pm 2,0)$, funzione decrescente su $x\le -2$ e crescente su $x\ge 2$.

Domande frequenti

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