Studio di $f(x)=\sqrt{x^2-1}$

Studio completo passo-passo

1. 1

   Dominio e simmetrie

   La radice quadrata richiede argomento non negativo:

   $$x^2-1\ge 0\Rightarrow x^2\ge 1\Rightarrow |x|\ge 1$$

   Dominio: $(-\infty ,-1]\cup [1,+\infty )$.

   Verifichiamo la simmetria:

   $$f(-x)=\sqrt{(-x{)}^2-1}=\sqrt{x^2-1}=f(x)$$

   La funzione è pari, quindi simmetrica rispetto all'asse $y$.

2. 2

   Intersezioni con gli assi e segno

   Intersezione asse $y$: $x=0$ non appartiene al dominio → nessuna.

   Intersezione asse $x$: $f(x)=0\Rightarrow \sqrt{x^2-1}=0\Rightarrow x^2-1=0\Rightarrow x=\pm 1$.

   Punti $(-1,0)$ e $(1,0)$.

   Segno: la radice è sempre non negativa dove definita.

   Quindi $f(x)>0$ per $|x|>1$, $f(x)=0$ per $x=\pm 1$.

3. 3

   Limiti e asintoti

   Limiti agli estremi del dominio:

   $$\underset{x\to \pm \infty }{\lim }\sqrt{x^2-1}=+\infty$$

   Ricerca asintoto obliquo per $x\to +\infty$:

   $$m=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{\sqrt{x^2-1}}{x}=\underset{x\to +\infty }{\lim }\sqrt{1-\frac{1}{x^2}}=1$$

   $$q=\underset{x\to +\infty }{\lim }(\sqrt{x^2-1}-x)=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{-1}{\sqrt{x^2-1}+x}=0$$

   Asintoto: $y=x$ per $x\to +\infty$.

   Per $x\to -\infty$, utilizzando la simmetria o il calcolo diretto:

   $$m=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{\sqrt{x^2-1}}{x}=-1,q=\underset{x\to -\infty }{\lim }(\sqrt{x^2-1}+x)=0$$

   Asintoto: $y=-x$ per $x\to -\infty$.

   Non ci sono asintoti verticali: la funzione è continua su $\{|x|\ge 1\}$ con valori finiti nei punti di frontiera.

4. 4

   Derivata prima e monotonia

   Derivata prima per $|x|>1$:

   $$f^{\prime }(x)=\frac{1}{2\sqrt{x^2-1}}\cdot 2x=\frac{x}{\sqrt{x^2-1}}$$

   Segno della derivata:

   - Per $x>1$: $x>0$, $\sqrt{x^2-1}>0$ → $f^{\prime }(x)>0$, funzione crescente. - Per $x<-1$: $x<0$, $\sqrt{x^2-1}>0$ → $f^{\prime }(x)<0$, funzione decrescente.

   Punti critici: $f^{\prime }(x)=0$ solo in $x=0$, non appartenente al dominio.

   Comportamento ai bordi: ${\lim }_{x\to 1^{+}}{f}^{\prime }(x)=+\infty$, ${\lim }_{x\to -1^{-}}{f}^{\prime }(x)=-\infty$ → tangenti verticali in $(\pm 1,0)$.

   Punti di minimo assoluto (e unici minimi) in $x=\pm 1$ con $f=0$.

5. 5

   Derivata seconda e concavità

   Derivata seconda per $|x|>1$:

   $$f^{\prime \prime }(x)=\frac{(1)\cdot \sqrt{x^2-1}-x\cdot \frac{x}{\sqrt{x^2-1}}}{x^2-1}=\frac{\frac{x^2-1-x^2}{\sqrt{x^2-1}}}{x^2-1}=-\frac{1}{(x^2-1{)}^{3/2}}$$

   Poiché $(x^2-1{)}^{3/2}>0$ per $|x|>1$, si ha $f^{\prime \prime }(x)<0$ in tutto il dominio $\Rightarrow$ concavità verso il basso (convessa negativamente).

   Nessun punto di flesso.

6. 6

   Descrizione del grafico e verifica

   Riassunto: $f(x)=\sqrt{x^2-1}$ è pari, definita per $|x|\ge 1$. - Interseca gli assi in $(-1,0)$ e $(1,0)$, con tangenti verticali. - È positiva per $|x|>1$, decrescente su $(-\infty ,-1]$ e crescente su $[1,+\infty )$. - Asintoti obliqui: $y=x$ a $+\infty$, $y=-x$ a $-\infty$. - Concavità sempre verso il basso.

   Verifica: calcolando numericamente, per $x=10$ si ha $f(10)\approx 9.95$, $y=x=10$; per $x=-10$, $f(-10)\approx 9.95$, $y=-x=10$ (effettivamente asintotico).

   La derivata calcolata $\frac{x}{\sqrt{x^2-1}}$ è consistente con la monotonia osservata.

Domande frequenti

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