Studio di $f(x)=x\cdot \sqrt{x}$

Studio completo passo-passo

1. 1

   Dominio

   La funzione contiene una radice quadrata, quindi l'argomento deve essere non negativo:

   $$x\ge 0$$

   Non ci sono denominatori o logaritmi, perciò il dominio è:

   $$\mathcal{D}=[0,+\infty )$$
2. 2

   Simmetrie

   Il dominio è limitato ai reali non negativi, quindi non è simmetrico rispetto all'origine.

   La funzione non può essere pari o dispari.

   Non presenta altre simmetrie evidenti.

3. 3

   Intersezioni con gli assi e segno

   Intersezione con l'asse $y$: $x=0\Rightarrow f(0)=0\cdot \sqrt{0}=0$ → $(0,0)$.

   Intersezione con l'asse $x$: $f(x)=0\Rightarrow x\sqrt{x}=0\Rightarrow x=0$ (unica soluzione) → $(0,0)$.

   Segno: per $x>0$, $x>0$ e $\sqrt{x}>0$, quindi $f(x)>0$; per $x=0$, $f(x)=0$.

   La funzione è non negativa su tutto il dominio.

4. 4

   Limiti agli estremi e asintoti

   Calcoliamo i limiti agli estremi del dominio.

   $$\underset{x\to 0^{+}}{\lim }x\sqrt{x}=0\cdot 0=0$$

   $$\underset{x\to +\infty }{\lim }x\sqrt{x}=+\infty$$

   Non esistono asintoti verticali poiché il limite sinistro non è infinito in alcun punto del dominio.

   Asintoto orizzontale: il limite a $+\infty$ è infinito, quindi non c'è.

   Asintoto obliquo: verifichiamo $m={\lim }_{x\to +\infty }\frac{f(x)}{x}={\lim }_{x\to +\infty }\sqrt{x}=+\infty$, non finito → nessun asintoto obliquo.

5. 5

   Derivata prima e monotonia

   Riscriviamo $f(x)=x^{3/2}$ e deriviamo:

   $$f^{\prime }(x)=\frac{3}{2}{x}^{1/2}=\frac{3}{2}\sqrt{x},x>0$$

   In $x=0$ la derivata destra vale ${\lim }_{h\to 0^{+}}\frac{h^{3/2}}{h}=0$, quindi $f^{\prime }(0)=0$ (derivabile in $0$).

   Segno della derivata: $f^{\prime }(x)\ge 0$ per ogni $x\ge 0$, con $f^{\prime }(0)=0$ e $f^{\prime }(x)>0$ per $x>0$.

   Pertanto $f(x)$ è crescente su $[0,+\infty )$ (strettamente crescente per $x>0$).

   L'unico punto stazionario è $x=0$, che è un estremo sinistro del dominio e corrisponde al minimo assoluto $f(0)=0$.

   Non esistono massimi relativi o assoluti.

6. 6

   Descrizione del grafico

   Il grafico parte dall'origine $(0,0)$ con tangente orizzontale (derivata nulla), poi cresce monotonicamente.

   La derivata prima aumenta, quindi la funzione è convessa (derivata seconda $f^{\prime \prime }(x)=\frac{3}{4\sqrt{x}}>0$ per $x>0$).

   La curva assomiglia a una parabola ma con crescita più lenta rispetto a $x^2$; tende a $+\infty$ per $x\to +\infty$ senza asintoti.

Domande frequenti

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