Studio di $f(x)=\sqrt{x}-x$

Studio completo passo-passo

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   Dominio e simmetrie

   La funzione contiene una radice quadrata $\sqrt{x}$, quindi l'argomento deve essere non negativo: $x\ge 0$.

   Il dominio è $[0,+\infty )$.

   Il dominio non è simmetrico rispetto all'origine o all'asse $y$, quindi non ci sono simmetrie né pari né dispari.

   $$D=\{x\in \mathbb{R}:x\ge 0\}$$
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   Intersezioni con gli assi e segno

   Intersezioni: - Asse $y$: $x=0$ → $f(0)=\sqrt{0}-0=0$, punto $(0,0)$. - Asse $x$: $f(x)=0$ → $\sqrt{x}-x=0$ → $\sqrt{x}=x$ → elevando al quadrato (entrambi non negativi) $x=x^2$ → $x^2-x=0$ → $x(x-1)=0$ → $x=0$ o $x=1$, entrambi nel dominio.

   Segno: $f(x)\ge 0$ quando $\sqrt{x}\ge x$.

   Per $x\ge 0$, elevando al quadrato si ha $x\ge x^2$ → $x(x-1)\le 0$ → $0\le x\le 1$.

   Quindi $f(x)>0$ per $0<x<1$, $f(x)=0$ agli estremi $0$ e $1$, $f(x)<0$ per $x>1$.

   Verifica: $x=0.25$: $\sqrt{0.25}-0.25=0.5-0.25=0.25>0$; $x=2$: $\sqrt{2}-2\approx 1.414-2=-0.586<0$.

3. 3

   Limiti e asintoti

   Calcoliamo i limiti agli estremi del dominio: - $x\to 0^{+}$: $f(0)=0$, per continuità ${\lim }_{x\to 0^{+}}f(x)=0$. - $x\to +\infty$: $\sqrt{x}-x=x\left(\frac{1}{\sqrt{x}}-1\right)\to -\infty$ perché $\frac{1}{\sqrt{x}}\to 0$.

   Non ci sono asintoti verticali (dominio chiuso a $0$ e funzione continua).

   Per $x\to +\infty$, $f(x)/x=\frac{1}{\sqrt{x}}-1\to -1$, ma $f(x)-(-x)=\sqrt{x}\to +\infty$, quindi non esiste asintoto obliquo (il grafico tende a comportarsi come $-x$ ma senza distanza costante).

   $$\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{f(x)}{x}=\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(\frac{1}{\sqrt{x}}-1\right)=-1$$

   $$\underset{x\to +\infty }{\lim }(f(x)+x)=\underset{x\to +\infty }{\lim }\sqrt{x}=+\infty$$
4. 4

   Derivata prima e studio della monotonia

   La funzione è derivabile per $x>0$ (in $x=0$ il limite del rapporto incrementale tende a $+\infty$, tangente verticale, ma $0$ è estremo del dominio).

   Calcoliamo:

   $$f^{\prime }(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}-1$$

   Studio del segno: - $f^{\prime }(x)>0$ quando $\frac{1}{2\sqrt{x}}>1$ → $1>2\sqrt{x}$ → $\sqrt{x}<\frac{1}{2}$ → $x<\frac{1}{4}$. - $f^{\prime }(x)=0$ per $x=\frac{1}{4}$. - $f^{\prime }(x)<0$ per $x>\frac{1}{4}$.

   Quindi $f$ è crescente in $[0,\frac{1}{4})$ e decrescente in $(\frac{1}{4},+\infty )$.

   Il punto $x=\frac{1}{4}$ è un massimo relativo (e assoluto, poiché $f(0)=0$, $f(1)=0$).

   Valore: $f\left(\frac{1}{4}\right)=\frac{1}{2}-\frac{1}{4}=\frac{1}{4}$.

   Verifica con derivata seconda: $f^{\prime \prime }(x)=-\frac{1}{4x^{3/2}}<0$ per $x>0$, conferma la concavità verso il basso e la natura di massimo.

5. 5

   Descrizione del grafico

   Il grafico parte dall'origine $(0,0)$, sale fino al punto di massimo $(\frac{1}{4},\frac{1}{4})$, poi scende incrociando l'asse $x$ in $(1,0)$ e prosegue decrescendo verso $-\infty$ con andamento asintotico rettilineo di pendenza $-1$ (ma senza asintoto, poiché la distanza verticale dalla retta $y=-x$ tende a $+\infty$).

   La concavità è sempre rivolta verso il basso.

   Non ci sono flessi.

Domande frequenti

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