Studio di $f(x)=\sqrt{x^2+1}$

Studio completo passo-passo

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   Dominio e simmetrie

   La funzione $f(x)=\sqrt{x^2+1}$ è definita quando il radicando è non negativo: $x^2+1\ge 0$ è sempre vera per ogni $x\in \mathbb{R}$, quindi il dominio è tutto $\mathbb{R}$.

   Verifichiamo la simmetria: $f(-x)=\sqrt{(-x{)}^2+1}=\sqrt{x^2+1}=f(x)$.

   La funzione è pari, simmetrica rispetto all'asse $y$.

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   Intersezioni con gli assi e segno

   Intersezione con l'asse $y$: ponendo $x=0$ si ha $f(0)=\sqrt{0^2+1}=1$, punto $(0,1)$.

   Intersezione con l'asse $x$: risolviamo $f(x)=0⟹\sqrt{x^2+1}=0⟹x^2+1=0$, impossibile in $\mathbb{R}$.

   Nessuna intersezione con l'asse $x$.

   Segno: poiché $\sqrt{x^2+1}>0$ per ogni $x$, la funzione è sempre positiva ($f(x)>0$).

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   Limiti agli estremi e asintoti

   Calcoliamo i limiti per $x\to \pm \infty$:

   $$\underset{x\to \pm \infty }{\lim }\sqrt{x^2+1}=+\infty$$

   Non ci sono asintoti orizzontali.

   Ricerca asintoti obliqui: $m_{\pm }={\lim }_{x\to \pm \infty }\frac{f(x)}{x}$.

   Per $x\to +\infty$: $\frac{\sqrt{x^2+1}}{x}=\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}\to 1$.

   Per $x\to -\infty$: $\frac{\sqrt{x^2+1}}{x}=\frac{|x|\sqrt{1+1/x^2}}{x}=\frac{-x\sqrt{1+1/x^2}}{x}=-\sqrt{1+1/x^2}\to -1$.

   Calcoliamo $q_{\pm }={\lim }_{x\to \pm \infty }[f(x)-m_{\pm }x]$.

   Per $x\to +\infty$ ($m=1$):

   $$\sqrt{x^2+1}-x=\frac{(x^2+1)-x^2}{\sqrt{x^2+1}+x}=\frac{1}{\sqrt{x^2+1}+x}\to 0$$

   Asintoto obliquo destro: $y=x$.

   Per $x\to -\infty$ ($m=-1$):

   $$\sqrt{x^2+1}-(-1)x=\sqrt{x^2+1}+x=\frac{1}{\sqrt{x^2+1}-x}\to 0$$

   Asintoto obliquo sinistro: $y=-x$.

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   Derivata prima, crescenza e minimo

   Calcoliamo la derivata prima:

   $$f^{\prime }(x)=\frac{1}{2\sqrt{x^2+1}}\cdot 2x=\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}$$

   Studio del segno di $f^{\prime }(x)$: il denominatore è sempre positivo, quindi $f^{\prime }(x)>0$ per $x>0$, $f^{\prime }(x)<0$ per $x<0$, e $f^{\prime }(0)=0$.

   La funzione è decrescente su $(-\infty ,0]$, crescente su $[0,+\infty )$.

   In $x=0$ si ha un minimo assoluto: $f(0)=1$.

   Verifica con la derivata seconda (opzionale): $f^{\prime \prime }(x)=\frac{1}{(x^2+1{)}^{3/2}}>0$, conferma che $x=0$ è minimo e la concavità è sempre verso l'alto.

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   Descrizione del grafico e verifica

   La funzione ha forma simmetrica rispetto all'asse $y$, passa per $(0,1)$, cresce senza limiti per $x\to \pm \infty$ lungo gli asintoti obliqui $y=x$ (destra) e $y=-x$ (sinistra).

   È sempre positiva, non interseca l'asse $x$.

   Verifica indipendente: calcolando i limiti con sviluppo di Taylor per $x\to +\infty$: $\sqrt{x^2+1}=x\sqrt{1+1/x^2}=x\left(1+\frac{1}{2x^2}-\frac{1}{8x^4}+\cdots \right)=x+\frac{1}{2x}+O(x^{-3})$, quindi la differenza $f(x)-x\to 0$, confermando l'asintoto $y=x$.

   Analogamente per $x\to -\infty$.

   La derivata è stata ricalcolata con la regola della catena: $D(\sqrt{u})=\frac{u^{\prime }}{2\sqrt{u}}$ con $u=x^2+1$, corretto.

Domande frequenti

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