Studio di $f(x)=\frac{x}{\ln \left(x\right)}$

Studio completo passo-passo

1. 1

   Dominio e simmetrie

   La funzione è definita quando il denominatore $\ln x$ è non nullo e l’argomento del logaritmo è positivo:

   $$\{\begin{array}{l}x>0\\ \ln x\ne 0\Rightarrow x\ne 1\end{array}$$

   Pertanto il dominio è $\text{Dom}=(0,1)\cup (1,+\infty )$.

   Il dominio non è simmetrico rispetto all’origine, quindi non ci sono simmetrie (né pari né dispari).

2. 2

   Intersezioni con gli assi e segno

   Nessuna intersezione con l’asse $y$ perché $x=0$ non appartiene al dominio.

   L’equazione $f(x)=0$ richiederebbe $x=0$, ancora escluso dal dominio; quindi non ci sono intersezioni con l’asse $x$.

   Il segno è determinato dal segno di $\ln x$ (il numeratore $x$ è sempre positivo nel dominio): - Per $0<x<1$ si ha $\ln x<0$ $\Rightarrow$ $f(x)<0$. - Per $x>1$ si ha $\ln x>0$ $\Rightarrow$ $f(x)>0$.

3. 3

   Limiti agli estremi del dominio e asintoti

   Calcoliamo i limiti:

   $$\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{x}{\ln x}=0(\text{da sotto, percheˊ }\ln x\to -\infty )$$

   La retta $y=0$ è un asintoto orizzontale per $x\to 0^{+}$.

   $$\underset{x\to 1^{-}}{\lim }\frac{x}{\ln x}=-\infty ,\underset{x\to 1^{+}}{\lim }\frac{x}{\ln x}=+\infty$$

   Pertanto $x=1$ è asintoto verticale.

   $$\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{x}{\ln x}=+\infty$$

   Poiché $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{f(x)}{x}=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{1}{\ln x}=0$ e $\underset{x\to +\infty }{\lim }(f(x)-0\cdot x)=+\infty$, non esistono asintoti orizzontali o obliqui per $x\to +\infty$.

4. 4

   Derivata prima e punti stazionari

   Applicando la regola del quoziente con $D(x)=1$, $D(\ln x)=1/x$:

   $$f^{\prime }(x)=\frac{1\cdot \ln x-x\cdot \frac{1}{x}}{(\ln x{)}^2}=\frac{\ln x-1}{(\ln x{)}^2}$$

   Il dominio della derivata è lo stesso della funzione ($x>0,x\ne 1$).

   I punti stazionari si ottengono annullando il numeratore:

   $$\ln x-1=0\Rightarrow \ln x=1\Rightarrow x=e$$

   Pertanto $x=e$ è l’unico punto critico; $f(e)=\frac{e}{\ln e}=e$.

5. 5

   Crescenza, decrescenza e natura del punto critico

   Analizziamo il segno di $f^{\prime }(x)$: - $f^{\prime }(x)>0⟺\ln x-1>0⟺\ln x>1⟺x>e$ - $f^{\prime }(x)<0⟺\ln x-1<0⟺0<x<e,x\ne 1$

   Quindi: - su $(0,1)$ la funzione è decrescente, - su $(1,e)$ è decrescente, - su $(e,+\infty )$ è crescente.

   Poiché $x=e$ è l’unico punto in cui la derivata si annulla e la funzione è continua, si tratta di un minimo relativo (e anche minimo assoluto sul ramo $x>1$).

   Il valore minimo è $f(e)=e$.

6. 6

   Descrizione del grafico

   Il grafico si sviluppa su due rami separati dall’asintoto verticale $x=1$. - Per $x\to 0^{+}$ la funzione tende a $0$ da sotto, iniziando con valori negativi. - Poi decresce (diventa sempre più negativa) fino a $-\infty$ quando $x\to 1^{-}$. - Subito a destra di $1$, la funzione proviene da $+\infty$ e decresce fino al punto $(e,e)$, dove si ha un minimo relativo. - Per $x>e$ il grafico cresce lentamente (ma senza asintoti) verso $+\infty$.

   Non ci sono intersezioni con gli assi e il punto $x=1$ separa le zone di segno negativo (sinistra) e positivo (destra).

Domande frequenti

Esercizi correlati