Studio di $f(x)=\ln \left(x^2+1\right)$

Studio completo passo-passo

1. 1

   Dominio e simmetrie

   La funzione è $f(x)=\ln (x^2+1)$.

   Il logaritmo naturale richiede argomento positivo: $x^2+1>0$ è sempre vera per ogni $x\in \mathbb{R}$.

   Quindi il dominio è $\mathbb{R}$.

   Per la simmetria:

   $$f(-x)=\ln ((-x{)}^2+1)=\ln (x^2+1)=f(x)$$

   La funzione è pari (simmetrica rispetto all'asse $y$).

2. 2

   Intersezioni con gli assi e segno

   Intersezione con asse $y$: $x=0\Rightarrow f(0)=\ln (1)=0$, punto $(0,0)$.

   Intersezione con asse $x$: $f(x)=0\Rightarrow \ln (x^2+1)=0\Rightarrow x^2+1=1\Rightarrow x=0$, unica intersezione $(0,0)$.

   Segno: $\ln (x^2+1)>0$ quando $x^2+1>1\Rightarrow x^2>0\Rightarrow x\ne 0$.

   Quindi $f(x)>0$ per $x\ne 0$, $f(0)=0$.

3. 3

   Limiti e asintoti

   Per $x\to \pm \infty$, $x^2+1\to +\infty$, quindi $\ln (x^2+1)\to +\infty$.

   Non ci sono asintoti verticali (dominio $\mathbb{R}$).

   Calcoliamo:

   $$\underset{x\to \pm \infty }{\lim }\frac{\ln (x^2+1)}{x}=0$$

   perché il logaritmo cresce più lentamente di qualsiasi potenza positiva.

   Quindi non esiste asintoto obliquo.

   La funzione diverge a $+\infty$ a entrambi gli estremi, senza asintoti orizzontali.

4. 4

   Derivata prima e monotonia

   Derivata:

   $$f^{\prime }(x)=\frac{1}{x^2+1}\cdot 2x=\frac{2x}{x^2+1}$$

   Il dominio della derivata è $\mathbb{R}$.

   Il segno è determinato dal numeratore $2x$ (denominatore sempre positivo): - $f^{\prime }(x)<0$ per $x<0$ (funzione decrescente) - $f^{\prime }(x)=0$ in $x=0$ (punto critico) - $f^{\prime }(x)>0$ per $x>0$ (funzione crescente) $x=0$ è minimo relativo (e assoluto) perché la derivata cambia da negativa a positiva.

   $f(0)=0$, quindi minimo assoluto in $(0,0)$.

   Verifica: la regola di derivazione composta è corretta; testando un punto $x=1$ si ha $f^{\prime }(1)=\frac{2}{2}=1>0$ (crescente), $x=-1$ dà $f^{\prime }(-1)=-\frac{2}{2}=-1<0$ (decrescente), coerente.

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   Derivata seconda e concavità (per descrizione del grafico)

   Derivata seconda (calcolata con regola del quoziente):

   $$f^{\prime \prime }(x)=\frac{2(x^2+1)-2x(2x)}{(x^2+1{)}^2}=\frac{2x^2+2-4x^2}{(x^2+1{)}^2}=\frac{2-2x^2}{(x^2+1{)}^2}=\frac{2(1-x^2)}{(x^2+1{)}^2}$$

   Segno: numeratore $2(1-x^2)$ positivo per $x^2<1\Rightarrow -1<x<1$ (funzione convessa); negativo per $|x|>1$ (concava).

   Punti di flesso in $x=\pm 1$, con $f(\pm 1)=\ln 2$.

   Descrizione grafico: la funzione è pari, ha minimo assoluto in $(0,0)$, è positiva per $x\ne 0$ e tende a $+\infty$ per $x\to \pm \infty$.

   La concavità cambia in $x=\pm 1$: convessa nell'intervallo $(-1,1)$, concava altrove.

Domande frequenti

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