Studio di $f(x)=\frac{\ln \left(x\right)}{x^2}$

Studio completo passo-passo

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   Dominio

   La funzione è $f(x)=\frac{\ln x}{x^2}$.

   Il logaritmo naturale è definito per $x>0$, mentre il denominatore $x^2$ si annulla in $x=0$.

   Pertanto il dominio è $(0,+\infty )$, escluso lo zero perché non l'argomento del logaritmo lo richiede.

   $$\text{Dominio: }\mathcal{D}=(0,+\infty )$$
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   Simmetrie

   Il dominio è limitato ai soli $x>0$, quindi non è simmetrico rispetto all’origine né all’asse $y$.

   Non si hanno quindi simmetrie di parità (funzione né pari né dispari) né periodicità, poiché il logaritmo non è periodico.

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   Intersezioni con gli assi

   - **Asse $y$**: non è intersecato perché $x=0$ non appartiene al dominio. - **Asse $x$**: si pone $f(x)=0$, cioè $\ln x=0$, da cui $x=1$.

   L’unico punto di intersezione è $(1,0)$.

   $$f(1)=\frac{\ln 1}{1}=0\Rightarrow (1,0)$$
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   Segno della funzione

   Poiché $x^2>0$ per ogni $x>0$, il segno di $f(x)$ coincide con quello di $\ln x$: - $\ln x<0$ per $0<x<1$ $\Rightarrow f(x)<0$; - $\ln x=0$ per $x=1$ $\Rightarrow f(x)=0$; - $\ln x>0$ per $x>1$ $\Rightarrow f(x)>0$.

   In sintesi:

   $$\{\begin{array}{ll}f(x)<0& \text{per }0<x<1\\ f(x)=0& \text{per }x=1\\ f(x)>0& \text{per }x>1\end{array}$$
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   Limiti e asintoti

   - **Limite per $x\to 0^{+}$**: $\ln x\to -\infty$, $x^2\to 0^{+}$, quindi il rapporto tende a $-\infty$ (asintoto verticale in $x=0$). - **Limite per $x\to +\infty$**: $\ln x$ cresce più lentamente di qualsiasi potenza positiva, pertanto il rapporto tende a $0^{+}$ (asintoto orizzontale $y=0$).

   Si verifica l’eventuale asintoto obliquo: il limite $\frac{f(x)}{x}\to 0$ esclude tale possibilità.

   $$\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{\ln x}{x^2}=-\infty ,\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{\ln x}{x^2}=0^{+}$$

   Asintoti: verticale $x=0$ (destra), orizzontale $y=0$ per $x\to +\infty$.

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   Derivata prima e monotonia

   Calcoliamo la derivata prima usando la regola del prodotto ($f(x)=\ln x\cdot x^{-2}$):

   $$f^{\prime }(x)=\frac{1}{x}\cdot x^{-2}+\ln x\cdot (-2)x^{-3}=x^{-3}-2\ln x{x}^{-3}=\frac{1-2\ln x}{x^3}$$

   Per $x>0$, $x^3>0$, quindi il segno di $f^{\prime }(x)$ è quello del numeratore $1-2\ln x$: - $1-2\ln x>0\iff \ln x<\frac{1}{2}\iff x<\sqrt{e}$, - $1-2\ln x<0\iff x>\sqrt{e}$.

   Pertanto: - $f$ cresce su $(0,\sqrt{e})$, - $f$ decresce su $(\sqrt{e},+\infty )$, - $x=\sqrt{e}$ è un punto di massimo relativo (e assoluto) con valore:

   $$f(\sqrt{e})=\frac{\ln (\sqrt{e})}{(\sqrt{e}{)}^2}=\frac{1/2}{e}=\frac{1}{2e}\approx 0.1839$$
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   Descrizione del grafico

   Il grafico della funzione $f(x)=\frac{\ln x}{x^2}$ si trova nel primo e quarto quadrante (per $x>0$).

   Partendo da $x\to 0^{+}$ la funzione tende a $-\infty$ (asintoto verticale $x=0$), poi cresce fino al punto $(1,0)$, attraversa l’asse $x$ e continua a crescere fino al massimo in $(\sqrt{e},1/(2e))\approx (1.6487,0.1839)$.

   Successivamente decresce avvicinandosi all’asse $x$ (asintoto orizzontale $y=0$) da valori positivi per $x\to +\infty$.

   La funzione è negativa per $0<x<1$, positiva per $x>1$, con un unico zero in $x=1$.

   Il massimo è l’unico punto stazionario ed è anche massimo assoluto.

Domande frequenti

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