Studio di $f(x)=\frac{\ln \left(x\right)}{x}$

Studio completo passo-passo

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   Dominio e simmetrie

   La funzione $f(x)=\frac{\ln x}{x}$ richiede $\ln x$ definito, quindi $x>0$.

   Il denominatore $x$ non si annulla nel dominio.

   Il dominio è $(0,+\infty )$.

   Nessuna simmetria perché il dominio non è simmetrico rispetto all'asse y né rispetto all'origine.

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   Intersezioni e segno

   Poniamo $f(x)=0$: $\ln x=0\Rightarrow x=1$.

   Intersezione con asse x in $(1,0)$.

   Segno: poiché $x>0$, il segno è dato dal numeratore $\ln x$.

   Quindi: - $0<x<1$: $\ln x<0$ $\Rightarrow f(x)<0$ - $x>1$: $\ln x>0$ $\Rightarrow f(x)>0$

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   Limiti e asintoti

   Calcoliamo i limiti:

   $$\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{\ln x}{x}=\frac{-\infty }{0^{+}}=-\infty$$

   Quindi $x=0$ è un asintoto verticale.

   $$\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{\ln x}{x}$$

   Forma indeterminata $\frac{\infty }{\infty }$; applichiamo L'Hôpital:

   $$\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{1/x}{1}=0$$

   Asintoto orizzontale $y=0$ per $x\to +\infty$.

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   Derivata prima e monotonia

   Derivata usando la regola del quoziente:

   $$f^{\prime }(x)=\frac{\frac{1}{x}\cdot x-\ln x\cdot 1}{x^2}=\frac{1-\ln x}{x^2}$$

   Il denominatore $x^2>0$, quindi il segno dipende da $1-\ln x$.

   - $1-\ln x>0\Rightarrow \ln x<1\Rightarrow x<e$: $f^{\prime }(x)>0$, $f$ crescente. - $x>e$: $f^{\prime }(x)<0$, $f$ decrescente. - In $x=e$: $f^{\prime }(e)=0$ e la derivata cambia segno da positivo a negativo, quindi massimo relativo (e assoluto) in $x=e$ con $f(e)=\frac{1}{e}$.

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   Descrizione del grafico e verifica

   La funzione ha dominio $(0,\infty )$, asintoto verticale in $x=0$ e orizzontale in $y=0$ per $x\to \infty$.

   Interseca l'asse x in $x=1$, è negativa per $0<x<1$, positiva per $x>1$.

   Cresce sull'intervallo $(0,e]$ fino al massimo assoluto $(e,1/e)$, poi decresce tendendo a $0$.

   Verifica: ricalcolo la derivata con la regola del prodotto: $f(x)=\ln x\cdot x^{-1}$.

   $f^{\prime }(x)=\frac{1}{x}\cdot x^{-1}+\ln x\cdot (-1)x^{-2}=\frac{1}{x^2}-\frac{\ln x}{x^2}=\frac{1-\ln x}{x^2}$, corretto.

   I limiti sono coerenti con il grafico tipico di $\ln x/x$.

Domande frequenti

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