Studio di $f(x)=x\cdot \ln \left(x\right)$

Studio completo passo-passo

1. 1

   Dominio e simmetrie

   La funzione $f(x)=x\ln x$ contiene il logaritmo naturale, il cui argomento deve essere strettamente positivo.

   Pertanto il dominio è:

   $$\mathcal{D}=(0,+\infty ).$$

   Il dominio non è simmetrico rispetto all'origine, quindi non possono esistere simmetrie né pari né dispari.

2. 2

   Intersezioni con gli assi e segno della funzione

   Intersezioni con gli assi - Asse $y$ ($x=0$): non appartiene al dominio, nessuna intersezione. - Asse $x$ ($f(x)=0$): $x\ln x=0$ implica $x=0$ (fuori dominio) oppure $\ln x=0\Rightarrow x=1$.

   L'unica intersezione è $(1,0)$.

   Segno Per $x>0$, $x>0$, quindi il segno di $f(x)$ coincide con il segno di $\ln x$. - $\ln x>0⟺x>1$: $f(x)>0$ - $\ln x<0⟺0<x<1$: $f(x)<0$

   In sintesi:

   $$f(x)\{\begin{array}{ll}<0& \text{per }0<x<1\\ =0& \text{per }x=1\\ >0& \text{per }x>1\end{array}$$
3. 3

   Limiti agli estremi del dominio e asintoti

   Limiti - $x\to 0^{+}$: la forma è $0\cdot (-\infty )$.

   Applicando il limite notevole ${\lim }_{x\to 0^{+}}x\ln x=0$, oppure riscrivendo come $\frac{\ln x}{1/x}$ e applicando de L'Hôpital:

   $$\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{\ln x}{1/x}=\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{1/x}{-1/x^2}=\underset{x\to 0^{+}}{\lim }(-x)=0.$$

   Quindi $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }f(x)=0$ (la funzione tende a $0$ da valori negativi). - $x\to +\infty$: $x\ln x\to +\infty$.

   Asintoti - Asintoto verticale in $x=0$?

   Il limite è finito ($0$), quindi non c'è asintoto verticale. - Asintoto orizzontale?

   No, poiché ${\lim }_{x\to +\infty }f(x)=+\infty$. - Asintoto obliquo?

   Verifichiamo il rapporto $f(x)/x=\ln x\to +\infty$ per $x\to +\infty$, quindi la crescita è super-lineare e non esiste asintoto obliquo.

   Non sono presenti asintoti.

4. 4

   Derivata prima, crescenza/decrescenza e punti estremanti

   Calcoliamo la derivata prima usando la regola del prodotto:

   $$f^{\prime }(x)=1\cdot \ln x+x\cdot \frac{1}{x}=\ln x+1.$$

   Segno della derivata $f^{\prime }(x)>0⟺\ln x+1>0⟺\ln x>-1⟺x>e^{-1}=1/e$.

   $f^{\prime }(x)=0$ per $x=1/e$, $f^{\prime }(x)<0$ per $0<x<1/e$.

   Andamento - Intervallo $(0,1/e)$: $f^{\prime }(x)<0$ → $f$ decrescente. - Intervallo $(1/e,+\infty )$: $f^{\prime }(x)>0$ → $f$ crescente.

   Minimo assoluto (globale e locale) in $x=1/e$:

   $$f(1/e)=\frac{1}{e}\ln \frac{1}{e}=\frac{1}{e}(-1)=-\frac{1}{e}.$$

   Non esistono massimi (la funzione scende da $0$ a $-1/e$ e poi cresce illimitatamente).

5. 5

   Derivata seconda, concavità e descrizione del grafico

   La derivata seconda è:

   $$f^{\prime \prime }(x)=\frac{d}{dx}(\ln x+1)=\frac{1}{x}.$$

   Per $x>0$ si ha $f^{\prime \prime }(x)>0$, quindi la funzione è convessa su tutto il dominio.

   Descrizione del grafico - Dominio: $x>0$. - Intersezione con l'asse $x$ in $(1,0)$. - $f(x)<0$ per $0<x<1$, $f(x)>0$ per $x>1$. - Asintoti: nessuno.

   La funzione parte da $(0,0)$ (limite finito, punto di accumulazione non appartenente al dominio), decresce fino al minimo in $\left(\frac{1}{e},-\frac{1}{e}\right)\approx (0.368,-0.368)$, poi cresce sempre più rapidamente verso $+\infty$. - La concavità è sempre verso l'alto (convessità). - Il grafico è simile a una parabola "storta" che passa per l'origine (idealmente) e per $(1,0)$, con un minimo sotto l'asse $x$.

Domande frequenti

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