Studio di $f(x)=x-\ln \left(x\right)$

Studio completo passo-passo

1. 1

   Dominio

   La funzione contiene un logaritmo naturale $\ln (x)$, il cui argomento deve essere strettamente positivo:

   $$x>0$$

   Pertanto il dominio è:

   $$\mathcal{D}=(0,+\infty )$$
2. 2

   Simmetrie

   Il dominio $(0,+\infty )$ non è simmetrico rispetto all'origine o all'asse $y$, quindi la funzione non è né pari né dispari.

   Non presenta altre simmetrie evidenti.

3. 3

   Intersezioni con gli assi

   - Asse $y$ ($x=0$): non appartiene al dominio $⟹$ nessuna intersezione.

   - Asse $x$ ($y=0$): $x-\ln (x)=0⟺x=\ln (x)$.

   Studio la funzione per verificare l'esistenza di soluzioni.

   La derivata prima $f^{\prime }(x)=1-\frac{1}{x}$ si annulla in $x=1$, che è un minimo (vedi derivata prima).

   Il valore minimo è $f(1)=1-0=1>0$.

   Poiché il minimo è positivo, $f(x)>0$ per ogni $x>0$, quindi l'equazione non ha soluzioni reali.

   Nessuna intersezione con l'asse $x$.

4. 4

   Segno della funzione

   Il minimo assoluto vale $1$, quindi:

   $$f(x)=x-\ln (x)>0\forall x\in (0,+\infty )$$

   La funzione è sempre positiva.

5. 5

   Limiti agli estremi del dominio e asintoti

   - Per $x\to 0^{+}$:

   $$\underset{x\to 0^{+}}{\lim }(x-\ln (x))=0-(-\infty )=+\infty$$

   Non esiste asintoto verticale (la funzione diverge positivamente).

   - Per $x\to +\infty$:

   $$\underset{x\to +\infty }{\lim }(x-\ln (x))=+\infty$$

   Cerco un eventuale asintoto obliquo $y=mx+q$:

   $$m=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{x-\ln (x)}{x}=\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(1-\frac{\ln (x)}{x}\right)=1$$

   $$q=\underset{x\to +\infty }{\lim }((x-\ln (x))-x)=\underset{x\to +\infty }{\lim }(-\ln (x))=-\infty$$

   Poiché $q$ diverge, non esiste asintoto obliquo.

   Il grafico si avvicina sempre più alla retta $y=x$, ma se ne allontana indefinitamente verso il basso (distanza $-\ln (x)\to -\infty$).

   - Non ci sono asintoti orizzontali (limite a $+\infty$ e $+\infty$).

6. 6

   Derivata prima, crescenza/decrescenza e punti estremanti

   Calcolo la derivata prima:

   $$f^{\prime }(x)=1-\frac{1}{x}$$

   Dominio di derivabilità: $x>0$.

   Punti critici: $f^{\prime }(x)=0⟺1-\frac{1}{x}=0⟺x=1$.

   Segno della derivata: - Per $0<x<1$: $\frac{1}{x}>1\Rightarrow f^{\prime }(x)<0$ $⟹$ $f$ decrescente. - Per $x>1$: $\frac{1}{x}<1\Rightarrow f^{\prime }(x)>0$ $⟹$ $f$ crescente.

   Quindi $x=1$ è un punto di minimo assoluto (unico punto stazionario).

   Valore minimo: $f(1)=1-\ln (1)=1$.

   Verifica con il metodo della derivata seconda: $f^{\prime \prime }(x)=\frac{1}{x^2}>0$ per ogni $x>0$, conferma che $x=1$ è un minimo (strettamente convesso).

   Non ci sono massimi.

7. 7

   Descrizione del grafico

   Il grafico di $f(x)=x-\ln (x)$: - è definito per $x>0$; - è sempre positivo, non interseca mai gli assi; - per $x\to 0^{+}$ tende a $+\infty$ (ramo discendente da $+\infty$); - decresce fino al punto $(1,1)$, che è il minimo assoluto; - poi cresce monotonamente per $x>1$, con concavità sempre verso l'alto (convessa); - per $x\to +\infty$ cresce indefinitamente, mantenendosi al di sotto della retta $y=x$ (distanza $-\ln (x)\to -\infty$); - non presenta asintoti, né simmetrie.

   Il grafico ha un andamento a "U" asimmetrico, con minimo in $(1,1)$.

Domande frequenti

Esercizi correlati