Studio di $f(x)=x^2\cdot \ln \left(x\right)$

Studio completo passo-passo

1. 1

   Dominio e simmetrie

   La funzione $f(x)=x^2\ln x$ contiene il logaritmo naturale, che richiede argomento positivo.

   Il dominio è quindi $x>0$, cioè $\mathcal{D}=(0,+\infty )$.

   Il dominio non è simmetrico rispetto a $0$, quindi non vi sono simmetrie (né pari né dispari).

2. 2

   Intersezioni con gli assi e segno

   Per trovare le intersezioni con l'asse $x$ si risolve $f(x)=0$:

   $$x^2\ln x=0⟹\ln x=0⟹x=1.$$

   Il punto di intersezione è $(1,0)$.

   L'asse $y$ ($x=0$) non appartiene al dominio, quindi nessuna intersezione.

   Per il segno, $x^2>0$ per ogni $x>0$, quindi il segno di $f$ coincide con quello di $\ln x$:

   - $0<x<1$: $\ln x<0$ $\Rightarrow$ $f(x)<0$; - $x=1$: $\ln x=0$ $\Rightarrow$ $f(x)=0$; - $x>1$: $\ln x>0$ $\Rightarrow$ $f(x)>0$.

3. 3

   Limiti agli estremi del dominio e asintoti

   Consideriamo i limiti agli estremi del dominio $(0,+\infty )$:

   - $x\to 0^{+}$: si ha la forma $0\cdot (-\infty )$.

   Utilizzando il limite notevole ${\lim }_{x\to 0^{+}}{x}^{\alpha }\ln x=0$ per $\alpha >0$, con $\alpha =2$ si ottiene

   $$\underset{x\to 0^{+}}{\lim }{x}^2\ln x=0.$$

   - $x\to +\infty$: $x^2\ln x\to +\infty$ (prodotto di infiniti positivi).

   Poiché il limite per $x\to 0^{+}$ è finito e $x=0$ non è nel dominio, non vi sono asintoti verticali.

   A $+\infty$ la funzione diverge e il limite ${\lim }_{x\to +\infty }f(x)/x={\lim }_{x\to +\infty }x\ln x=+\infty$ esclude asintoti orizzontali e obliqui.

4. 4

   Derivata prima e monotonia

   Calcoliamo la derivata prima utilizzando la regola del prodotto:

   $$f^{\prime }(x)=2x\ln x+x^2\cdot \frac{1}{x}=2x\ln x+x=x(2\ln x+1).$$

   Nel dominio $x>0$, il segno di $f^{\prime }(x)$ è determinato da $2\ln x+1$:

   - $2\ln x+1>0$ $\Rightarrow$ $\ln x>-\frac{1}{2}$ $\Rightarrow$ $x>e^{-1/2}$ (crescente); - $2\ln x+1<0$ $\Rightarrow$ $0<x<e^{-1/2}$ (decrescente); - $2\ln x+1=0$ $\Rightarrow$ $x=e^{-1/2}$ (punto critico).

   Pertanto $f$ è decrescente su $(0,e^{-1/2})$ e crescente su $(e^{-1/2},+\infty )$.

   In $x=e^{-1/2}$ si ha un minimo (locale e assoluto) con ordinata

   $$f\left(e^{-1/2}\right)=\left(e^{-1}\right)\ln \left(e^{-1/2}\right)=e^{-1}\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)=-\frac{1}{2e}.$$

   Verifica: Per $x=0.5<e^{-1/2}\approx 0.6065$, $f^{\prime }(0.5)=0.5(2\ln 0.5+1)=0.5(-1.3862+1)=-0.1931<0$ (decrescente).

   Per $x=1>e^{-1/2}$, $f^{\prime }(1)=1(2\cdot 0+1)=1>0$ (crescente).

   Il punto critico è confermato dalla derivata seconda positiva: $f^{\prime \prime }(e^{-1/2})=2\ln (e^{-1/2})+3=2(-1/2)+3=2>0$, quindi minimo.

5. 5

   Descrizione del grafico

   La funzione è definita solo per $x>0$.

   Partendo da $x\to 0^{+}$ il grafico tende a $0$ (punto apparente sull'origine, ma non incluso).

   Per $0<x<1$ la funzione è negativa, decresce fino al minimo assoluto in $x=e^{-1/2}\approx 0.6065$ con valore $-\frac{1}{2e}\approx -0.1839$, poi cresce passando per l'intersezione $(1,0)$ e continuando a crescere indefinitamente per $x\to +\infty$.

   Non vi sono asintoti.

   La concavità (ricavabile dalla derivata seconda $f^{\prime \prime }(x)=2\ln x+3$) è negativa per $0<x<e^{-3/2}\approx 0.2231$ e positiva per $x>e^{-3/2}$, con un punto di flesso in $x=e^{-3/2}$.

Domande frequenti

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