Studio di $f(x)=x^4-8\cdot x^2$

Studio completo passo-passo

1. 1

   Dominio e simmetrie

   La funzione è un polinomio, quindi definita per ogni $x\in \mathbb{R}$ ($\text{Dom}=\mathbb{R}$).

   Poiché $f(-x)=(-x{)}^4-8(-x{)}^2=x^4-8x^2=f(x)$, la funzione è pari: simmetrica rispetto all’asse $y$.

2. 2

   Intersezioni con gli assi

   * Asse $y$: $x=0\Rightarrow f(0)=0$, punto $(0,0)$. * Asse $x$: $f(x)=0\Rightarrow x^4-8x^2=0\Rightarrow x^2(x^2-8)=0\Rightarrow x=0,x=\pm \sqrt{8}=\pm 2\sqrt{2}$.

   Intersezioni: $(-2\sqrt{2},0),(0,0),(2\sqrt{2},0)$.

3. 3

   Segno della funzione

   Studiamo $f(x)=x^2(x^2-8)$.

   Il fattore $x^2\ge 0$ sempre, zero solo in $x=0$.

   Il segno è determinato da $(x^2-8)$: $x^2-8>0⟺|x|>2\sqrt{2}$; $x^2-8<0⟺|x|<2\sqrt{2}$.

   Quindi: - $f(x)>0$ per $x<-2\sqrt{2}$ o $x>2\sqrt{2}$; - $f(x)=0$ per $x=0,\pm 2\sqrt{2}$; - $f(x)<0$ per $-2\sqrt{2}<x<2\sqrt{2},x\ne 0$ (nell'intervallo $(-2\sqrt{2},2\sqrt{2})$ tranne zero la funzione è negativa).

4. 4

   Limiti agli estremi del dominio e asintoti

   Dominio $\mathbb{R}$, estremi $\pm \infty$:

   $$\underset{x\to \pm \infty }{\lim }(x^4-8x^2)=\underset{x\to \pm \infty }{\lim }{x}^4\left(1-\frac{8}{x^2}\right)=+\infty .$$

   Non esistono asintoti orizzontali (limite infinito) né obliqui (crescita polinomiale di grado $4$).

   La funzione diverge positivamente a $\pm \infty$.

5. 5

   Derivata prima: crescenza/decrescenza e punti critici

   Calcoliamo la derivata:

   $$f^{\prime }(x)=4x^3-16x=4x(x^2-4)=4x(x-2)(x+2).$$

   Studiamo il segno di $f^{\prime }(x)$: - $4>0$, quindi segno = segno di $x(x-2)(x+2)$.

   Consideriamo i punti critici $x=-2,0,2$:

   | Intervallo | $x$ | $x$ | $x-2$ | $x+2$ | $f^{\prime }(x)$ | $f(x)$ | |------------|-----|-----|-------|-------|---------|--------| | $(-\infty ,-2)$ | – | – | – | – | – | decrescente | | $(-2,0)$ | – | + | – | + | + | crescente | | $(0,2)$ | + | – | + | – | – | decrescente | | $(2,\infty )$ | + | + | + | + | + | crescente |

   Dunque: - $f$ decrescente su $(-\infty ,-2)$, - crescente su $(-2,0)$, - decrescente su $(0,2)$, - crescente su $(2,\infty )$.

   Punti stazionari: $x=-2,0,2$.

   Verifichiamo con la definizione di derivata in un punto (ad esempio $x=-2$) per conferma:

   $$f^{\prime }(-2)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{(-2+h{)}^4-8(-2+h{)}^2-((-2{)}^4-8(-2{)}^2)}{h}.$$

   Calcolando numericamente con $h=\pm 0.01$ si ottiene $f^{\prime }(-2)\approx 0$, coerente.

6. 6

   Classificazione dei punti critici (max/min)

   Dal segno della derivata prima: - $x=-2$: $f^{\prime }$ passa da $-$ a $+$ → minimo locale. - $x=0$: $f^{\prime }$ passa da $+$ a $-$ → massimo locale. - $x=2$: $f^{\prime }$ passa da $-$ a $+$ → minimo locale.

   Calcoliamo le ordinate:

   $$f(-2)=(-2{)}^4-8(-2{)}^2=16-32=-16,$$

   $$f(0)=0,$$

   $$f(2)=2^4-8\cdot 4=16-32=-16.$$

   Quindi minimi assoluti?

   Valore minimo $-16$, massimo assoluto?

   Per $x\to \pm \infty$ la funzione tende a $+\infty$, quindi il massimo locale in $(0,0)$ è un massimo relativo, non assoluto.

   I punti $(-2,-16)$ e $(2,-16)$ sono minimi assoluti.

7. 7

   Descrizione del grafico

   Il grafico è simmetrico rispetto all’asse $y$ (funzione pari).

   Presenta due minimi assoluti nei punti $(-2,-16)$ e $(2,-16)$ e un massimo relativo nell’origine $(0,0)$.

   La funzione interseca l’asse $x$ in $(-2\sqrt{2},0)$, $(0,0)$ e $(2\sqrt{2},0)$; è positiva per $x<-2\sqrt{2}$ o $x>2\sqrt{2}$ e negativa per $|x|<2\sqrt{2}$ (tranne $x=0$).

   Allontanandosi dall’origine, la curva cresce rapidamente come $x^4$.

Domande frequenti

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