Studio di $f(x)=3\cdot x^4-4\cdot x^3$

Studio completo passo-passo

1. 1

   Dominio e Simmetrie

   La funzione è un polinomio, quindi definita per tutti i numeri reali: $\mathcal{D}=\mathbb{R}$.

   Verifichiamo eventuali simmetrie.

   Calcoliamo $f(-x)=3(-x{)}^4-4(-x{)}^3=3x^4+4x^3$.

   Poiché $f(-x)\ne f(x)$ e $f(-x)\ne -f(x)$, la funzione non è né pari né dispari.

2. 2

   Intersezioni con gli assi

   Intersezione con l'asse $y$: $f(0)=0$, punto $(0,0)$.

   Intersezioni con l'asse $x$: risolviamo $f(x)=0$:

   $$3x^4-4x^3=x^3(3x-4)=0$$

   da cui $x=0$ (molteplicità 3) e $x=\frac{4}{3}$.

   Quindi i punti sono $(0,0)$ e $\left(\frac{4}{3},0\right)$.

3. 3

   Segno della funzione

   Studiamo il segno di $f(x)=x^3(3x-4)$.

   Consideriamo i punti critici $x=0$ e $x=\frac{4}{3}$.

   - Per $x<0$: $x^3<0$ e $3x-4<0$ $\Rightarrow$ prodotto $>0$. - Per $0<x<\frac{4}{3}$: $x^3>0$ e $3x-4<0$ $\Rightarrow$ prodotto $<0$. - Per $x>\frac{4}{3}$: entrambi positivi $\Rightarrow$ prodotto $>0$.

   In sintesi, $f(x)>0$ per $x<0$ e $x>\frac{4}{3}$, $f(x)<0$ per $0<x<\frac{4}{3}$, e $f(x)=0$ in $x=0$ e $x=\frac{4}{3}$.

4. 4

   Limiti agli estremi del dominio e asintoti

   La funzione è un polinomio di grado 4 con coefficiente direttivo positivo.

   Quindi:

   $$\underset{x\to -\infty }{\lim }f(x)=+\infty ,\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=+\infty .$$

   Non esistono asintoti verticali (dominio tutto $\mathbb{R}$), né orizzontali (limiti infiniti) né obliqui (grado >1).

5. 5

   Derivata prima, crescenza e decrescenza, punti critici

   Calcoliamo la derivata prima:

   $$f^{\prime }(x)=12x^3-12x^2=12x^2(x-1).$$

   Poniamo $f^{\prime }(x)=0$: $12x^2(x-1)=0$ $\Rightarrow$ $x=0$ (doppia) e $x=1$.

   Analizziamo il segno di $f^{\prime }(x)$.

   Poiché $12x^2\ge 0$ (nulla solo in $x=0$), il segno è determinato da $(x-1)$:

   - $x<0$: $x-1<0$ $\Rightarrow$ $f^{\prime }(x)<0$ $\Rightarrow$ $f$ decrescente. - $0<x<1$: $x-1<0$ $\Rightarrow$ $f^{\prime }(x)<0$ $\Rightarrow$ $f$ decrescente. - $x>1$: $x-1>0$ $\Rightarrow$ $f^{\prime }(x)>0$ $\Rightarrow$ $f$ crescente.

   In $x=0$ la derivata si annulla ma non cambia segno: si tratta di un punto di flesso a tangente orizzontale (punto di sella).

   In $x=1$ la derivata passa da negativa a positiva: punto di minimo relativo (e assoluto).

   Valore: $f(1)=3-4=-1$.

   Quindi il punto è $(1,-1)$.

6. 6

   Descrizione del grafico

   Il grafico della funzione $f(x)=3x^4-4x^3$:

   - Parte da $+\infty$ per $x\to -\infty$, decresce fino a $x=0$ con un flesso orizzontale in $(0,0)$. - Continua a decrescere fino al minimo assoluto in $(1,-1)$. - Poi cresce, interseca l'asse $x$ in $\left(\frac{4}{3},0\right)$ e tende a $+\infty$ per $x\to +\infty$. - La funzione è positiva per $x<0$ e $x>4/3$, negativa per $0<x<4/3$, nulla in $0$ e $4/3$.

Domande frequenti

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