Studio di $f(x)=x^3-6\cdot x^2+9\cdot x$

Studio completo passo-passo

1. 1

   Dominio e simmetrie

   La funzione $f(x)=x^3-6x^2+9x$ è un polinomio, definito per ogni $x\in \mathbb{R}$.

   Pertanto il dominio è $\mathbb{R}$.

   Per quanto riguarda le simmetrie, calcoliamo $f(-x)$:

   $$f(-x)=(-x{)}^3-6(-x{)}^2+9(-x)=-x^3-6x^2-9x$$

   Poiché $f(-x)\ne f(x)$ e $f(-x)\ne -f(x)$ (a causa del termine $-6x^2$), la funzione non è né pari né dispari.

2. 2

   Intersezioni con gli assi e segno della funzione

   Intersezione con l’asse $y$: $f(0)=0$, quindi il punto $A=(0,0)$.

   Intersezioni con l’asse $x$: poniamo $f(x)=0$:

   $$x^3-6x^2+9x=x(x^2-6x+9)=x(x-3{)}^2=0$$

   Otteniamo $x=0$ (semplice) e $x=3$ (doppia).

   I punti sono $A=(0,0)$ e $B=(3,0)$.

   Segno: il fattore $(x-3{)}^2$ è sempre positivo o nullo (nullo in $x=3$), quindi il segno di $f(x)$ è determinato dal fattore $x$.

   Dunque:

   - $f(x)>0$ per $x>0$ (con $f(3)=0$) - $f(x)<0$ per $x<0$

   La radice doppia in $x=3$ non produce cambiamento di segno.

3. 3

   Limiti agli estremi del dominio e asintoti

   La funzione è un polinomio di grado 3 con coefficiente direttivo positivo.

   Quindi:

   $$\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=+\infty ,\underset{x\to -\infty }{\lim }f(x)=-\infty$$

   Non esistono asintoti orizzontali (limiti infiniti) né obliqui (il grado del numeratore supera di almeno 2 il denominatore, non essendoci frazioni).

   La funzione tende a $-\infty$ per $x\to -\infty$ e a $+\infty$ per $x\to +\infty$ seguendo il comportamento tipico di una cubica.

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   Derivata prima, crescenza/decrescenza e punti estremanti

   Calcoliamo la derivata prima:

   $$f^{\prime }(x)=3x^2-12x+9=3(x^2-4x+3)=3(x-1)(x-3)$$

   I punti critici sono $x=1$ e $x=3$.

   Studiamo il segno di $f^{\prime }(x)$:

   - $f^{\prime }(x)>0$ per $x<1$ o $x>3$ → la funzione cresce in $(-\infty ,1]$ e $[3,+\infty )$ - $f^{\prime }(x)<0$ per $1<x<3$ → la funzione decresce in $[1,3]$

   Di conseguenza:

   $$x=1\text{ eˋ un massimo relativo: }f(1)=1-6+9=4\Rightarrow M=(1,4)$$

   $$x=3\text{ eˋ un minimo relativo: }f(3)=27-54+27=0\Rightarrow m=(3,0)$$

   Verifica: ricalcolando la derivata con la regola di derivazione di un polinomio e fattorizzando si ottiene lo stesso risultato; testando valori interni agli intervalli si conferma il segno.

5. 5

   Descrizione del grafico

   La curva ha andamento tipico di una cubica con radici in $x=0$ (semplice) e $x=3$ (doppia).

   Partendo da $-\infty$ (da sinistra) la funzione è negativa, cresce fino al massimo $M=(1,4)$, poi decresce fino al minimo $m=(3,0)$ toccando l’asse $x$ senza attraversarlo (radice doppia), infine risale a $+\infty$ per $x>3$.

   Il punto $A=(0,0)$ è un’intersezione in cui la funzione passa da negativa a positiva (crocetta l’asse).

   Il grafico non presenta asintoti, simmetrie evidenti né discontinuità.

   Il flesso (non richiesto) si trova in $x=2$, dove $f^{\prime \prime }(x)=6x-12$ si annulla.

Domande frequenti

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