Studio di $f(x)=\frac{x^2}{\left(x^2+1\right)}$

Studio completo passo-passo

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   Dominio e simmetrie

   La funzione è razionale $f(x)=\frac{x^2}{x^2+1}$.

   Il denominatore $x^2+1$ è sempre positivo perché $x^2\ge 0$, quindi $x^2+1\ge 1>0$.

   Di conseguenza il dominio è tutto $\mathbb{R}$, senza punti di discontinuità.

   Per la simmetria, calcoliamo $f(-x)=\frac{(-x{)}^2}{(-x{)}^2+1}=\frac{x^2}{x^2+1}=f(x)$.

   La funzione è pari, quindi simmetrica rispetto all'asse $y$.

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   Intersezioni con gli assi e segno

   Intersezioni: - Asse $y$ ($x=0$): $f(0)=\frac{0}{0+1}=0$, punto $(0,0)$. - Asse $x$ ($y=0$): $\frac{x^2}{x^2+1}=0\Rightarrow x^2=0\Rightarrow x=0$.

   Unica intersezione nell'origine.

   Segno: Il numeratore $x^2\ge 0$ e il denominatore è sempre positivo.

   Quindi $f(x)\ge 0$ per ogni $x$, con $f(x)=0$ solo in $x=0$.

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   Limiti e asintoti

   Per determinare il comportamento agli estremi del dominio ($\pm \infty$), calcoliamo:

   $$\underset{x\to \pm \infty }{\lim }\frac{x^2}{x^2+1}=\underset{x\to \pm \infty }{\lim }\frac{1}{1+\frac{1}{x^2}}=1.$$

   Esiste quindi un asintoto orizzontale $y=1$ per $x\to \pm \infty$.

   Non ci sono asintoti verticali (denominatore mai nullo) e, data la presenza dell'asintoto orizzontale, non vi sono asintoti obliqui.

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   Derivata prima e monotonia

   Calcoliamo la derivata prima con la regola del quoziente:

   $$f^{\prime }(x)=\frac{(2x)(x^2+1)-x^2(2x)}{(x^2+1{)}^2}=\frac{2x^3+2x-2x^3}{(x^2+1{)}^2}=\frac{2x}{(x^2+1{)}^2}.$$

   Il denominatore $(x^2+1{)}^2$ è sempre positivo per ogni $x$.

   Il segno di $f^{\prime }(x)$ coincide quindi con il segno di $2x$:

   - $f^{\prime }(x)<0$ per $x<0$: $f$ decrescente su $(-\infty ,0]$. - $f^{\prime }(x)=0$ per $x=0$: punto critico. - $f^{\prime }(x)>0$ per $x>0$: $f$ crescente su $[0,\infty )$.

   Il punto $x=0$ è un minimo assoluto (il valore minimo è $f(0)=0$), dato che la funzione è sempre non negativa.

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   Verifica con metodi indipendenti

   Ricalcolo la derivata usando la regola del prodotto: $f(x)=x^2(x^2+1{)}^{-1}$.

   $$f^{\prime }(x)=2x(x^2+1{)}^{-1}+x^2(-1)(x^2+1{)}^{-2}(2x)=\frac{2x}{x^2+1}-\frac{2x^3}{(x^2+1{)}^2}=\frac{2x(x^2+1)-2x^3}{(x^2+1{)}^2}=\frac{2x}{(x^2+1{)}^2}.$$

   Il risultato coincide.

   Per il limite, la sostituzione $\frac{1}{x^2}\to 0$ conferma il limite $1$.

   Il segno della funzione è evidente: numeratore non negativo e denominatore positivo.

   Tutti i metodi concordano.

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   Descrizione del grafico

   La funzione è pari, definita su tutto $\mathbb{R}$, sempre non negativa, con minimo assoluto nell'origine $(0,0)$.

   Per $x<0$ decresce e per $x>0$ cresce, tendendo asintoticamente a $y=1$ da sotto (poiché $x^2/(x^2+1)<1$ per ogni $x$).

   Il grafico è simmetrico rispetto all'asse $y$, ha forma a campana?

   In realtà è simile a una "U" schiacciata: parte da $0$ in $x=0$, sale fino a $1$ per $|x|\to \infty$, con concavità variabile (non richiesta, ma la derivata seconda $f^{\prime \prime }(x)=\frac{2-6x^2}{(x^2+1{)}^3}$ indica un cambiamento di concavità in $x=\pm 1/\sqrt{3}$, formando due flessi).

   Nel complesso, il grafico è liscio, senza asintoti verticali, e si avvicina orizzontalmente alla retta $y=1$ a grandi distanze.

Domande frequenti

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