Studio di $f(x)=\frac{x^2}{\left(x^2-1\right)}$

Studio completo passo-passo

1. 1

   Dominio della funzione

   La funzione è razionale fratta, quindi il denominatore non può annullarsi.

   Si impone $x^2-1\ne 0$, cioè $x^2\ne 1$, da cui $x\ne \pm 1$.

   Il dominio è quindi:

   $$\mathbb{R}\setminus \{-1,1\}=(-\infty ,-1)\cup (-1,1)\cup (1,+\infty )$$
2. 2

   Simmetrie della funzione

   Calcoliamo $f(-x)$:

   $$f(-x)=\frac{(-x{)}^2}{(-x{)}^2-1}=\frac{x^2}{x^2-1}=f(x)$$

   Poiché $f(-x)=f(x)$, la funzione è pari.

   Il grafico è simmetrico rispetto all'asse $y$.

3. 3

   Intersezioni con gli assi cartesiani

   - **Asse $y$** ($x=0$): $f(0)=\frac{0^2}{0^2-1}=0$ $\Rightarrow$ punto $(0,0)$. - **Asse $x$** ($y=0$): $\frac{x^2}{x^2-1}=0\Rightarrow x^2=0\Rightarrow x=0$.

   L'unica intersezione è l'origine $(0,0)$.

4. 4

   Segno della funzione

   Il numeratore $x^2$ è sempre $\ge 0$ (nullo solo in $x=0$).

   Il denominatore $x^2-1$ è positivo per $|x|>1$ e negativo per $|x|<1$.

   Quindi:

   - $f(x)>0$ per $x<-1$ o $x>1$ (numeratore positivo, denominatore positivo); - $f(x)<0$ per $-1<x<0$ o $0<x<1$ (numeratore positivo, denominatore negativo); - $f(0)=0$.

   I punti $x=\pm 1$ non appartengono al dominio.

5. 5

   Limiti agli estremi del dominio e asintoti

   Per $x\to \pm \infty$:

   $$\underset{x\to \pm \infty }{\lim }\frac{x^2}{x^2-1}=\underset{x\to \pm \infty }{\lim }\frac{1}{1-\frac{1}{x^2}}=1$$

   Asintoto orizzontale $y=1$ (la funzione tende a $1$ dall'alto, $f(x)>1$ per $|x|>1$).

   Per $x\to 1$ e $x\to -1$: - $\underset{x\to 1^{-}}{\lim }f(x)=-\infty ,\underset{x\to 1^{+}}{\lim }f(x)=+\infty$; - $\underset{x\to -1^{-}}{\lim }f(x)=+\infty ,\underset{x\to -1^{+}}{\lim }f(x)=-\infty$.

   Asintoti verticali in $x=-1$ e $x=1$.

6. 6

   Derivata prima: crescenza, decrescenza e punti stazionari

   Calcoliamo $f^{\prime }(x)$ usando la regola del quoziente:

   $$f^{\prime }(x)=\frac{(2x)(x^2-1)-x^2(2x)}{(x^2-1{)}^2}=\frac{2x^3-2x-2x^3}{(x^2-1{)}^2}=-\frac{2x}{(x^2-1{)}^2}$$

   Il denominatore $(x^2-1{)}^2$ è sempre positivo (mai nullo nel dominio).

   Il segno di $f^{\prime }$ è quindi quello del numeratore $-2x$: - $f^{\prime }(x)>0$ per $x<0$ (funzione crescente); - $f^{\prime }(x)<0$ per $x>0$ (funzione decrescente); - $f^{\prime }(x)=0$ per $x=0$ (punto critico).

   Poiché $f$ cresce a sinistra di $0$ e decresce a destra, $x=0$ è un punto di massimo locale con $f(0)=0$.

   Non esistono minimi locali.

   Verifica con derivata seconda: $f^{\prime \prime }(0)=-2<0$ (concavità verso il basso), conferma il massimo.

7. 7

   Descrizione del grafico

   La funzione è pari, simmetrica rispetto all'asse $y$.

   Per $x<-1$: la funzione parte da $1$ (allontanandosi verso $-\infty$) e cresce fino a $+\infty$ in prossimità di $x=-1^{-}$.

   Per $-1<x<0$: parte da $-\infty$ (da destra di $-1$) e cresce fino a $0$ nell'origine.

   Per $0<x<1$: decresce da $0$ a $-\infty$ in $x=1^{-}$.

   Per $x>1$: decresce da $+\infty$ (da destra di $1$) fino a $1$ all'infinito.

   L'origine $(0,0)$ è un massimo locale.

   Non esistono massimi o minimi assoluti: la funzione è illimitata superiormente (vicino agli asintoti verticali) e inferiormente (negativa all'interno).

   Il grafico presenta due rami esterni (per $|x|>1$) che tendono a $1$ e due rami interni (per $|x|<1$) che si avvicinano agli asintoti verticali.

Domande frequenti

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