Studio di $f(x)=x^2+\frac{1}{x}$

Studio completo passo-passo

1. 1

   Dominio

   La funzione è somma di un polinomio $x^2$ (definito su tutto $\mathbb{R}$) e di un termine razionale $\frac{1}{x}$ che richiede $x\ne 0$.

   Il dominio è quindi:

   $$\mathcal{D}=(-\infty ,0)\cup (0,+\infty )$$
2. 2

   Simmetrie

   Verifichiamo se la funzione è pari o dispari calcolando $f(-x)$:

   $$f(-x)=(-x{)}^2+\frac{1}{-x}=x^2-\frac{1}{x}$$

   Poiché $f(-x)\ne f(x)$ e $f(-x)\ne -f(x)$, la funzione non presenta simmetrie.

3. 3

   Intersezioni con gli assi

   - **Asse $x$** ($y=0$): risolviamo $x^2+\frac{1}{x}=0$, cioè $x^3+1=0\Rightarrow x=-1$.

   Punto: $\left(-1,0\right)$. - **Asse $y$** ($x=0$): $x=0$ non appartiene al dominio, quindi nessuna intersezione.

4. 4

   Segno della funzione

   Studiamo $f(x)⪌0$.

   Scriviamo la funzione come $\frac{x^3+1}{x}$.

   - Per $x>0$: numeratore $x^3+1>0$, denominatore $>0$ → $f(x)>0$. - Per $x<0$: denominatore negativo.

   Il numeratore $x^3+1$ è negativo per $x<-1$, positivo per $-1<x<0$, nullo in $x=-1$.

   Riassumendo:

   $$f(x)\{\begin{array}{ll}>0& \text{per }x\in (-\infty ,-1)\cup (0,+\infty )\\ =0& \text{per }x=-1\\ <0& \text{per }x\in (-1,0)\end{array}$$
5. 5

   Limiti e asintoti

   Analizziamo i quattro estremi del dominio:

   - $\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(x^2+\frac{1}{x}\right)=+\infty$ (nessun asintoto orizzontale/obliquo perché la funzione cresce come $x^2$) - $\underset{x\to -\infty }{\lim }\left(x^2+\frac{1}{x}\right)=+\infty$ - $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\left(x^2+\frac{1}{x}\right)=+\infty$ e $\underset{x\to 0^{-}}{\lim }\left(x^2+\frac{1}{x}\right)=-\infty$

   Asintoto verticale: $x=0$ (limiti infiniti da destra e da sinistra).

6. 6

   Derivata prima, crescenza/decrescenza, massimi e minimi

   Calcoliamo la derivata prima:

   $$f^{\prime }(x)=2x-\frac{1}{x^2}=\frac{2x^3-1}{x^2}$$

   Il denominatore è sempre positivo ($x^2>0$ per $x\ne 0$), quindi il segno di $f^{\prime }$ coincide con quello del numeratore $2x^3-1$.

   $$2x^3-1>0⟺x>\sqrt[3]{\frac{1}{2}}=\frac{1}{\sqrt[3]{2}}$$

   Pertanto: - **$x<0$**: $2x^3-1<0$ → $f^{\prime }(x)<0$ → $f$ decrescente - **$0<x<\frac{1}{\sqrt[3]{2}}$**: $f^{\prime }(x)<0$ → $f$ decrescente - **$x>\frac{1}{\sqrt[3]{2}}$**: $f^{\prime }(x)>0$ → $f$ crescente

   Nel punto $x_M=\frac{1}{\sqrt[3]{2}}$ si ha un minimo locale (il segno della derivata passa da negativo a positivo).

   Il valore è

   $$f\left(\frac{1}{\sqrt[3]{2}}\right)=\frac{1}{\sqrt[3]{4}}+\sqrt[3]{2}$$

   Non esistono massimi locali (la funzione tende a $-\infty$ per $x\to 0^{-}$ e a $+\infty$ per $x\to 0^{+}$ e $x\to \pm \infty$).

   VERIFICA: ricalcoliamo $f^{\prime }(x)$ usando la regola del quoziente sulla forma $\frac{x^3+1}{x}$ (anche se non semplificata).

   Derivata del numeratore $3x^2$, del denominatore $1$:

   $$f^{\prime }(x)=\frac{3x^2\cdot x-(x^3+1)\cdot 1}{x^2}=\frac{3x^3-x^3-1}{x^2}=\frac{2x^3-1}{x^2}$$

   Il risultato coincide.

   Controllo puntuale: $x=1$ → $f^{\prime }(1)=2-1=1>0$, e $1>\frac{1}{\sqrt[3]{2}}$; $x=0.5$ → $f^{\prime }(0.5)=1-4=-3<0$, e $0.5<\frac{1}{\sqrt[3]{2}}$; $x=-1$ → $f^{\prime }(-1)=-2-1=-3<0$; tutto coerente.

7. 7

   Descrizione del grafico

   La funzione $f(x)=x^2+\frac{1}{x}$ ha dominio $(-\infty ,0)\cup (0,+\infty )$.

   Non presenta simmetrie; interseca l'asse $x$ solo in $(-1,0)$.

   È positiva per $x<-1$ e $x>0$, negativa per $-1<x<0$.

   Ha un asintoto verticale in $x=0$ (la funzione va a $-\infty$ da sinistra e a $+\infty$ da destra).

   Per $x\to \pm \infty$ tende a $+\infty$ con andamento parabolico (nessun asintoto lineare).

   È decrescente su $(-\infty ,0)$ e su $\left(0,\frac{1}{\sqrt[3]{2}}\right)$, crescente su $\left(\frac{1}{\sqrt[3]{2}},+\infty \right)$; possiede un punto di minimo locale in $\left(\frac{1}{\sqrt[3]{2}},\frac{1}{\sqrt[3]{4}}+\sqrt[3]{2}\right)$.

Domande frequenti

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