Studio di $f(x)=\ln \left(x\right)-x$

Studio completo passo-passo

1. 1

   Dominio e simmetrie

   Il logaritmo naturale $\ln (x)$ è definito per $x>0$, quindi il dominio della funzione $f(x)=\ln (x)-x$ è:

   $$\mathcal{D}=(0,+\infty )$$

   Non esistono simmetrie evidenti perché il dominio non è simmetrico rispetto allo $0$ e la funzione non è né pari né dispari (non ha senso verificarlo al di fuori del dominio).

2. 2

   Intersezioni con gli assi e segno

   Asse $y$: $x=0$ non appartiene al dominio, nessuna intersezione.

   Asse $x$: risolviamo $\ln (x)-x=0$, cioè $\ln (x)=x$.

   Non esistono soluzioni reali (analiticamente si può dimostrare che $x=1$ dà $-1$, e la funzione è sempre negativa).

   Verifichiamo numericamente: $f(1)=-1<0$, $f(0.1)\approx -2.4$, $f(10)\approx -7.7$.

   La funzione non interseca mai l'asse $x$.

   Segno: poiché $f(x)<0$ per ogni $x>0$, il segno è negativo su tutto il dominio.

   $$\forall x\in (0,+\infty ),f(x)<0$$
3. 3

   Limiti agli estremi del dominio e asintoti

   Calcoliamo i limiti agli estremi del dominio:

   $$\underset{x\to 0^{+}}{\lim }f(x)=\underset{x\to 0^{+}}{\lim }(\ln (x)-x)=-\infty (\text{percheˊ }\ln x\to -\infty ,-x\to 0)$$

   $$\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=\underset{x\to +\infty }{\lim }(\ln (x)-x)=-\infty (\text{il termine }-x\text{ prevale})$$

   Asintoto verticale: $x=0$ è un asintoto verticale (destro) poiché $f(x)\to -\infty$ per $x\to 0^{+}$.

   Asintoto orizzontale: nessuno, il limite è $-\infty$ per $x\to +\infty$.

   Asintoto obliquo: proviamo a calcolare coefficiente angolare $m$ e termine $q$:

   $$m=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{f(x)}{x}=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{\ln x-x}{x}=\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(\frac{\ln x}{x}-1\right)=0-1=-1$$

   $$q=\underset{x\to +\infty }{\lim }(f(x)-mx)=\underset{x\to +\infty }{\lim }(\ln x-x+x)=\underset{x\to +\infty }{\lim }\ln x=+\infty$$

   Poiché $q$ diverge, non esiste asintoto obliquo.

   Il ramo tende all'infinito con direzione asintotica di coefficiente $-1$.

4. 4

   Derivata prima, crescenza/decrescenza e massimi/minimi

   Calcoliamo la derivata prima:

   $$f^{\prime }(x)=\frac{1}{x}-1=\frac{1-x}{x}$$

   Definita per $x>0$.

   Studiamo il segno:

   $$f^{\prime }(x)>0⟺1-x>0⟺x<1$$

   $$f^{\prime }(x)<0⟺x>1$$

   $$f^{\prime }(x)=0⟺x=1$$

   Quindi la funzione è: - crescente su $(0,1)$, - decrescente su $(1,+\infty )$.

   In $x=1$ si ha un massimo (relativo e assoluto, unico punto critico).

   Il valore è:

   $$f(1)=\ln 1-1=-1$$

   Il punto $M(1,-1)$ è il massimo assoluto della funzione.

5. 5

   Derivata seconda e concavità (approfondimento)

   Calcoliamo la derivata seconda per analizzare la concavità:

   $$f^{\prime \prime }(x)=-\frac{1}{x^2}$$

   Per ogni $x>0$, $f^{\prime \prime }(x)<0$, quindi la funzione è concava verso il basso (convessa negativamente) su tutto il dominio.

   Non ci sono punti di flesso.

6. 6

   Descrizione del grafico e verifica

   Il grafico di $f(x)=\ln (x)-x$ è il seguente: - Parte da $-\infty$ quando $x\to 0^{+}$ (asintoto verticale $x=0$). - Cresce fino al punto di massimo assoluto $(1,-1)$. - Poi decresce verso $-\infty$ per $x\to +\infty$. - Non interseca mai gli assi, è sempre negativa. - La concavità è sempre rivolta verso il basso.

   Verifica incrociata: La derivata $\frac{1}{x}-1$ è corretta (regole standard).

   Il punto critico $x=1$ dà $f^{\prime }(1)=0$ e $f^{\prime \prime }(1)=-1<0$, conferma massimo.

   I limiti sono corretti: per $x\to 0^{+}$ prevale $\ln x\to -\infty$; per $x\to +\infty$ il termine $-x$ domina.

   L'assenza di intersezioni è confermata da $f(1)=-1$ e dal fatto che la funzione non supera mai $-1$.

   Tutti i calcoli sono coerenti.

Domande frequenti

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