Studio di $f(x)=x^2\cdot e^x$

Studio completo passo-passo

1. 1

   Dominio e simmetrie

   La funzione è $f(x)=x^2{e}^x$.

   Il fattore $x^2$ è definito per ogni $x\in \mathbb{R}$; $e^x$ è definito per ogni $x\in \mathbb{R}$.

   Pertanto il dominio è tutto $\mathbb{R}$.

   Per le simmetrie, calcoliamo $f(-x)=(-x{)}^2{e}^{-x}=x^2{e}^{-x}$.

   Poiché $f(-x)\ne f(x)$ e $f(-x)\ne -f(x)$, la funzione non è né pari né dispari.

2. 2

   Intersezioni con gli assi e segno

   Intersezione con l'asse $y$: ponendo $x=0$ si ottiene $f(0)=0$.

   L'intersezione è l'origine $(0,0)$.

   Intersezione con l'asse $x$: risolviamo $f(x)=0\Rightarrow x^2{e}^x=0$.

   $e^x>0$ sempre, quindi $x^2=0\Rightarrow x=0$ (radice doppia).

   Unica intersezione: $(0,0)$.

   Segno: $x^2\ge 0$ per ogni $x$ e $e^x>0$, quindi $f(x)\ge 0$ per ogni $x$, con $f(x)=0$ solo in $x=0$.

   La funzione è positiva per $x\ne 0$.

3. 3

   Limiti e asintoti

   Calcoliamo i limiti agli estremi del dominio.

   Per $x\to +\infty$: $x^2{e}^x\to +\infty$ (l'esponenziale domina).

   Non esiste asintoto orizzontale né obliquo perché la crescita è più che lineare.

   Per $x\to -\infty$: si ha una forma indeterminata $\infty \cdot 0$.

   Riscriviamo $x^2{e}^x=\frac{x^2}{e^{-x}}$.

   Poiché $e^{-x}\to +\infty$ più rapidamente di $x^2$, il limite è $0$.

   Più formalmente:

   $$\underset{x\to -\infty }{\lim }{x}^2{e}^x=0$$

   Dunque la retta $y=0$ è un asintoto orizzontale sinistro.

   Non ci sono asintoti verticali (funzione definita su tutto $\mathbb{R}$ e continua).

4. 4

   Derivata prima, crescenza/decrescenza e punti stazionari

   Calcoliamo la derivata prima:

   $$f^{\prime }(x)=2x{e}^x+x^2{e}^x=e^x(x^2+2x)=e^{x}x(x+2)$$

   $e^x>0$ per ogni $x$, quindi il segno di $f^{\prime }(x)$ è determinato dal prodotto $x(x+2)$.

   I punti critici sono $x=-2$ e $x=0$.

   Studiamo il segno:

   - Per $x<-2$: $x<0$ e $x+2<0$ $\Rightarrow$ $f^{\prime }(x)>0$ $\Rightarrow$ $f$ crescente. - Per $-2<x<0$: $x<0$ e $x+2>0$ $\Rightarrow$ $f^{\prime }(x)<0$ $\Rightarrow$ $f$ decrescente. - Per $x>0$: $x>0$ e $x+2>0$ $\Rightarrow$ $f^{\prime }(x)>0$ $\Rightarrow$ $f$ crescente.

   Dunque: - $x=-2$ è un punto di massimo locale, con $f(-2)=4e^{-2}=\frac{4}{e^2}\approx 0.541$. - $x=0$ è un punto di minimo locale (e assoluto, poiché $f(x)\ge 0$ e $f(0)=0$), con $f(0)=0$.

5. 5

   Descrizione del grafico

   La funzione è definita su tutto $\mathbb{R}$, sempre non negativa (nulla solo in $x=0$).

   Per $x\to -\infty$ la curva si avvicina all'asse $x$ (asintoto orizzontale $y=0$).

   Da sinistra cresce fino al punto $(-2,4/e^2)$ che è un massimo locale, poi decresce fino all'origine $(0,0)$, dove ha un minimo assoluto (tangente orizzontale).

   Da $x>0$ risale e cresce rapidamente verso $+\infty$.

   La funzione presenta due punti di flesso (non richiesti esplicitamente) che si trovano risolvendo $f^{\prime \prime }(x)=e^x(x^2+4x+2)=0$, cioè $x=-2\pm \sqrt{2}$, dove cambia la concavità.

   In sintesi: grafico con andamento a "campana asimmetrica" (crescente, decrescente, crescente) con asintoto orizzontale a sinistra e crescita esponenziale a destra.

Domande frequenti

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