Studio di $f(x)=e^x-x$

Studio completo passo-passo

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   Dominio e simmetrie

   La funzione è definita per ogni $x\in \mathbb{R}$, poiché $e^x$ è definita su tutto $\mathbb{R}$ e $x$ è un polinomio.

   Non presenta simmetrie evidenti: $f(-x)=e^{-x}+x$ non è uguale a $f(x)$ né a $-f(x)$.

   Non è periodica.

   $$f:\mathbb{R}\to \mathbb{R},f(x)=e^x-x$$
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   Intersezioni con gli assi e segno

   **Asse $y$:** $x=0\Rightarrow f(0)=e^0-0=1$, punto $(0,1)$. **Asse $x$:** risolviamo $e^x-x=0$, cioè $e^x=x$.

   Osserviamo che $e^x>0$ sempre, mentre $x$ può essere negativo; per $x\ge 0$, $e^x\ge 1$ e $x\le e^x$ (con uguaglianza solo per $x=0$ dove $1\ne 0$).

   Quindi nessuna intersezione reale. Segno: $f^{\prime }(x)=e^x-1$ si annulla in $x=0$, e $f(0)=1>0$; inoltre $f^{\prime \prime }(x)=e^x>0$ indica che $f$ è convessa e il punto $x=0$ è un minimo assoluto.

   Ne segue $f(x)>0$ per ogni $x\in \mathbb{R}$.

   $$f(x)>0\forall x\in \mathbb{R}$$
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   Limiti agli estremi del dominio e asintoti

   **$x\to +\infty$:** $e^x$ domina, quindi $f(x)\to +\infty$.

   Rapporto $f(x)/x=e^x/x-1\to +\infty$, nessun asintoto obliquo. **$x\to -\infty$:** $e^x\to 0$, $-x\to +\infty$, quindi $f(x)\to +\infty$.

   Calcoliamo il limite del rapporto:

   $$\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{f(x)}{x}=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{e^x-x}{x}=\underset{x\to -\infty }{\lim }\left(\frac{e^x}{x}-1\right)$$

   Poiché $e^x/x\to 0$ (esponenziale infinitesimo su potenza), il rapporto tende a $-1$.

   Verifichiamo l'intercetta:

   $$\underset{x\to -\infty }{\lim }(f(x)+x)=\underset{x\to -\infty }{\lim }(e^x-x+x)=\underset{x\to -\infty }{\lim }{e}^x=0$$

   Quindi la retta $y=-x$ è asintoto obliquo per $x\to -\infty$.

   Non ci sono asintoti verticali.

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   Derivata prima, crescenza e decrescenza, massimi/minimi

   Calcoliamo la derivata prima:

   $$f^{\prime }(x)=e^x-1$$

   Studiamone il segno:

   - $f^{\prime }(x)>0$ quando $e^x>1\Rightarrow x>0$ (funzione crescente) - $f^{\prime }(x)<0$ quando $e^x<1\Rightarrow x<0$ (funzione decrescente) - $f^{\prime }(x)=0$ in $x=0$

   Punto stazionario in $x=0$: $f^{\prime \prime }(0)=e^0=1>0$, quindi è un minimo assoluto con valore $f(0)=1$.

   Verifica indipendente: Ricalcoliamo la derivata con la definizione di rapporto incrementale: $\underset{h\to 0}{\lim }\frac{e^{x+h}-(x+h)-e^x+x}{h}=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{e^x(e^h-1)-h}{h}=e^x\cdot 1-1=e^x-1$.

   Confermato.

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   Derivata seconda e descrizione del grafico

   Derivata seconda: $f^{\prime \prime }(x)=e^x>0$ per ogni $x\in \mathbb{R}$.

   La funzione è convessa su tutto il dominio.

   Descrizione del grafico: - Dominio reale, sempre positivo ($f(x)>0$). - Decrescente su $(-\infty ,0)$, crescente su $(0,\infty )$. - Minimo assoluto in $(0,1)$. - Asintoto obliquo $y=-x$ per $x\to -\infty$ (la curva è sopra l'asintoto perché $f(x)-(-x)=e^x>0$). - Per $x\to +\infty$ cresce esponenzialmente, senza asintoti. - Non ci sono flessi, né intersezioni con l'asse $x$.

   Verifica finale: - $f(0)=1$ corretto. - $f^{\prime }(0)=0$, $f^{\prime \prime }(0)=1>0$ → minimo. - ${\lim }_{x\to -\infty }f(x)/x=-1$ confermato. - $f(x)+x=e^x\to 0$ per $x\to -\infty$: asintoto $y=-x$ confermato.

   Tutti i controlli incrociati (derivata con due metodi, limiti per via diretta e via rapporto) coincidono.

Domande frequenti

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