Studio di $f(x)=\frac{e^x}{x}$

Studio completo passo-passo

1. 1

   Dominio e simmetrie

   La funzione $f(x)=e^x/x$ è definita per tutti i reali tranne $x=0$ a causa del denominatore, quindi il dominio è $\mathbb{R}\setminus \{0\}$.

   Non presenta simmetrie notevoli perché $f(-x)=e^{-x}/(-x)=-e^{-x}/x$ non è né uguale a $f(x)$ né a $-f(x)$.

2. 2

   Intersezioni con gli assi e segno

   Non ci sono intersezioni con l'asse $x$ perché $e^x=0$ è impossibile.

   Non c'è intersezione con l'asse $y$ perché $x=0$ non appartiene al dominio.

   Il segno della funzione dipende solo dal denominatore $x$, poiché $e^x>0$ sempre; perciò $f(x)>0$ se $x>0$ e $f(x)<0$ se $x<0$.

3. 3

   Limiti e asintoti

   Calcoliamo i limiti agli estremi del dominio:

   $$\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{e^x}{x}=+\infty \text{(crescita esponenziale prevale)}$$

   $$\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{e^x}{x}=0^{-}\text{poicheˊ }{e}^x\to 0\text{ e }x\to -\infty ,\text{ asintoto orizzontale }y=0$$

   $$\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{e^x}{x}=+\infty ,\underset{x\to 0^{-}}{\lim }\frac{e^x}{x}=-\infty$$

   Quindi $x=0$ è asintoto verticale.

4. 4

   Derivata prima e monotonia

   Calcoliamo la derivata prima con la regola del quoziente:

   $$f^{\prime }(x)=\frac{e^x\cdot x-e^x\cdot 1}{x^2}=\frac{e^x(x-1)}{x^2}$$

   Il segno di $f^{\prime }(x)$ è determinato da $(x-1)$ perché $e^x>0$ e $x^2>0$ per $x\ne 0$.

   Quindi:

   - $f^{\prime }(x)>0$ per $x>1$ (crescente) - $f^{\prime }(x)<0$ per $x<1$, con $x\ne 0$ (decrescente)

   Pertanto $f$ decresce su $(-\infty ,0)$ e $(0,1)$, cresce su $(1,+\infty )$.

   In $x=1$ abbiamo un minimo locale (e assoluto) con $f(1)=e$.

   Verifica: Ricalcoliamo $f^{\prime }(x)$ usando la regola del prodotto: $f(x)=e^x\cdot x^{-1}$, quindi $f^{\prime }(x)=e^x{x}^{-1}+e^x(-1)x^{-2}=e^x/x-e^x/x^2=e^x(x-1)/x^2$.

   Confermato.

5. 5

   Descrizione del grafico

   Il grafico presenta un asintoto verticale in $x=0$ e un asintoto orizzontale $y=0$ per $x\to -\infty$.

   A sinistra di $0$ ($x<0$) la funzione è negativa, decresce da $0^{-}$ a $-\infty$ avvicinandosi a $x=0$.

   A destra di $0$ ($x>0$) la funzione è positiva, scende da $+\infty$ fino al minimo in $(1,e)$ e poi risale crescendo verso $+\infty$ per $x\to +\infty$.

   Non ci sono intersezioni con gli assi.

Domande frequenti

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