Studio di $f(x)=x\cdot e^{\left(-x\right)}$

Studio completo passo-passo

1. 1

   Dominio e simmetrie

   La funzione $f(x)=x{e}^{-x}$ è definita per ogni $x\in \mathbb{R}$ perché l'esponenziale è definito su tutto $\mathbb{R}$ e il prodotto è sempre calcolabile.

   Non presenta simmetrie: $f(-x)=-x{e}^x$ non è né uguale a $f(x)$ né a $-f(x)$.

2. 2

   Intersezioni con gli assi e segno

   Intersezione con l'asse $y$: $f(0)=0$, quindi il punto è $(0,0)$.

   Intersezione con l'asse $x$: $f(x)=0\Rightarrow x{e}^{-x}=0\Rightarrow x=0$ (poiché $e^{-x}>0$ sempre).

   Segno: $e^{-x}>0$, quindi $f(x)$ ha lo stesso segno di $x$: positiva per $x>0$, negativa per $x<0$.

3. 3

   Limiti e asintoti

   Calcoliamo i limiti agli estremi del dominio ($\mathbb{R}$):

   $$\underset{x\to +\infty }{\lim }x{e}^{-x}=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{x}{e^x}=0(\text{per confronto di infiniti})$$

   $$\underset{x\to -\infty }{\lim }x{e}^{-x}=\underset{x\to -\infty }{\lim }x{e}^{|x|}=-\infty (\text{percheˊ }{e}^{-x}\to +\infty )$$

   L'asintoto orizzontale per $x\to +\infty$ è $y=0$.

   Per $x\to -\infty$ non c'è asintoto: il rapporto $f(x)/x=e^{-x}\to +\infty$, quindi la funzione va a $-\infty$ senza retta asintotica (ramo parabolico).

4. 4

   Derivata prima e monotonia

   Calcoliamo $f^{\prime }(x)$ con la regola del prodotto:

   $$f^{\prime }(x)=1\cdot e^{-x}+x\cdot (-e^{-x})=e^{-x}(1-x)$$

   Poniamo $f^{\prime }(x)=0\Rightarrow 1-x=0\Rightarrow x=1$.

   Studio del segno: $e^{-x}>0$, quindi $f^{\prime }(x)>0$ per $x<1$, $f^{\prime }(x)<0$ per $x>1$.

   La funzione è crescente su $(-\infty ,1]$ e decrescente su $[1,\infty )$.

   Punto di massimo relativo (assoluto in $[0,\infty )$) in $x=1$, con $f(1)=1/e$.

   Non esiste minimo globale perché ${\lim }_{x\to -\infty }f(x)=-\infty$.

5. 5

   Derivata seconda e concavità

   Deriviamo $f^{\prime }(x)=e^{-x}(1-x)$:

   $$f^{\prime \prime }(x)=-e^{-x}(1-x)+e^{-x}(-1)=e^{-x}[-(1-x)-1]=e^{-x}(x-2)$$

   $f^{\prime \prime }(x)=0\Rightarrow x=2$.

   Segno: $f^{\prime \prime }(x)>0$ per $x>2$ (concavità verso l'alto), $f^{\prime \prime }(x)<0$ per $x<2$ (concavità verso il basso).

   Punto di flesso in $x=2$, $f(2)=2e^{-2}$.

6. 6

   Descrizione del grafico

   La funzione $f(x)=x{e}^{-x}$ è definita su tutto $\mathbb{R}$, passa per l'origine, è negativa per $x<0$ e positiva per $x>0$.

   Cresce fino a $x=1$ dove raggiunge il massimo $f(1)=1/e$, poi decresce tendendo a $0$ come asintoto orizzontale per $x\to +\infty$.

   Per $x\to -\infty$ va a $-\infty$ con concavità iniziale verso il basso fino a $x=2$, dove si ha un flesso; successivamente la concavità diventa verso l'alto.

   Il grafico è simmetrico solo rispetto all'origine?

   No, ma presenta un massimo e un flesso ben evidenti.

Domande frequenti

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