Studio di $f(x)=x-e^x$

Studio completo passo-passo

1. 1

   Analisi del dominio

   La funzione $f(x)=x-e^x$ è composta da un polinomio di primo grado $x$ e dalla funzione esponenziale $e^x$, entrambi definiti su tutto $\mathbb{R}$.

   Il dominio è quindi $\mathbb{R}$, senza punti di discontinuità o restrizioni.

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   Simmetrie

   Si verifica $f(-x)=-x-e^{-x}$, che non è uguale a $f(x)$ né a $-f(x)$.

   La funzione non presenta simmetrie evidenti (né pari né dispari).

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   Intersezioni con gli assi

   - **Asse $x$**: $x-e^x=0\Rightarrow x=e^x$.

   La funzione $g(x)=e^x-x$ ha derivata $e^x-1$, minimo in $x=0$ con $g(0)=1>0$, quindi $e^x>x$ per ogni $x$.

   Pertanto $x-e^x<0$ sempre, nessuna intersezione con l'asse $x$. - **Asse $y$**: $x=0$ → $f(0)=0-1=-1$.

   Intersezione: $(0,-1)$.

4. 4

   Segno della funzione

   Come visto nel passaggio precedente, $e^x>x\forall x\in \mathbb{R}$, quindi $f(x)=x-e^x<0$ per ogni $x$.

   La funzione è sempre negativa.

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   Limiti e asintoti

   - **Limite per $x\to -\infty$**: $e^x\to 0$, quindi $f(x)\sim x\to -\infty$. - **Limite per $x\to +\infty$**: $e^x$ domina, $f(x)\to -\infty$. - **Asintoto obliquo per $x\to -\infty$**:

   $$\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{f(x)}{x}=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{x-e^x}{x}=1-\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{e^x}{x}=1,\underset{x\to -\infty }{\lim }[f(x)-x]=\underset{x\to -\infty }{\lim }(-e^x)=0.$$

   Quindi la retta $y=x$ è asintoto obliquo sinistro. - Per $x\to +\infty$ non esiste asintoto obliquo (il rapporto tende a $-\infty$).

6. 6

   Derivata prima, crescenza/decrescenza ed estremi

   Calcoliamo la derivata prima:

   $$f^{\prime }(x)=1-e^x.$$

   - Punti critici: $f^{\prime }(x)=0\Rightarrow 1-e^x=0\Rightarrow x=0$. - Segno della derivata: $1-e^x>0$ quando $e^x<1\Rightarrow x<0$ (crescente).

   $1-e^x<0$ quando $x>0$ (decrescente).

   Quindi $x=0$ è un massimo (locale e assoluto, poiché la funzione tende a $-\infty$ da entrambi i lati).

   Valore: $f(0)=-1$.

   Non ci sono minimi.

7. 7

   Descrizione del grafico

   Il grafico di $f(x)=x-e^x$ è definito su tutto $\mathbb{R}$, sempre negativo.

   Parte da $-\infty$ per $x\to -\infty$ seguendo l'asintoto $y=x$, cresce fino al punto di massimo $(0,-1)$, poi decresce nuovamente verso $-\infty$ per $x\to +\infty$ senza asintoti.

   Interseca l'asse $y$ in $(0,-1)$ e non interseca mai l'asse $x$.

   Il punto $x=0$ è l'unico punto critico ed è il massimo assoluto della funzione.

Domande frequenti

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