Studio di $f(x)=x\cdot e^x$

Studio completo passo-passo

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   Dominio e simmetrie

   La funzione $f(x)=x{e}^x$ è composta dal prodotto di $x$ (polinomio) e $e^x$ (esponenziale), entrambi definiti per ogni $x$ reale.

   Pertanto il dominio è $\mathbb{R}$.

   Verifichiamo le simmetrie: $f(-x)=-x{e}^{-x}$.

   Poiché $f(-x)\ne f(x)$ e $f(-x)\ne -f(x)$, la funzione non è né pari né dispari.

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   Intersezioni con gli assi

   - **Asse $y$**: ponendo $x=0$ si ha $f(0)=0\cdot e^0=0$ → punto $(0,0)$. - **Asse $x$**: $f(x)=0$ ⇒ $x{e}^x=0$.

   Poiché $e^x>0$ per ogni $x$, l'unica soluzione è $x=0$, quindi la curva interseca l'asse delle ascisse solo nell'origine.

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   Segno

   $e^x>0$ per ogni $x$, quindi il segno di $f(x)$ è determinato dal fattore $x$: - $x>0$ ⇒ $f(x)>0$ (parte positiva per $x>0$); - $x<0$ ⇒ $f(x)<0$ (parte negativa per $x<0$); - $x=0$ ⇒ $f(0)=0$.

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   Limiti e asintoti

   Calcoliamo i limiti agli estremi del dominio:

   - Per $x\to +\infty$: $x{e}^x\to +\infty$ (l'esponenziale prevale). - Per $x\to -\infty$: forma indeterminata $-\infty \cdot 0$.

   Riscriviamo come $\frac{x}{e^{-x}}$ e applichiamo L'Hôpital:

   $$\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{x}{e^{-x}}=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{1}{-e^{-x}}=\underset{x\to -\infty }{\lim }-e^x=0^{-}$$

   Dunque la retta $y=0$ è asintoto orizzontale sinistro (da sotto).

   Non ci sono asintoti verticali, né obliqui per $x\to +\infty$ (il rapporto $f(x)/x=e^x\to +\infty$).

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   Derivata prima, crescenza e decrescenza, massimi/minimi

   Calcoliamo la derivata prima con la regola del prodotto:

   $$f^{\prime }(x)=1\cdot e^x+x\cdot e^x=e^x(1+x)$$

   Poiché $e^x>0$, il segno di $f^{\prime }(x)$ coincide con quello di $1+x$: - $x>-1$ ⇒ $f^{\prime }(x)>0$ → $f$ crescente; - $x<-1$ ⇒ $f^{\prime }(x)<0$ → $f$ decrescente; - $x=-1$ ⇒ $f^{\prime }(-1)=0$, punto stazionario.

   Valutando $f$ in $x=-1$: $f(-1)=-1\cdot e^{-1}=-\frac{1}{e}$.

   Dall'analisi della monotonia, per $x<-1$ decresce e per $x>-1$ cresce, quindi $x=-1$ è un punto di minimo locale, che risulta anche minimo assoluto poiché $f(x)\to 0$ per $x\to -\infty$ e $f(x)\to +\infty$ per $x\to +\infty$.

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   Descrizione del grafico

   Il grafico di $f(x)=x{e}^x$ presenta le seguenti caratteristiche: - Passa per l'origine $(0,0)$, è negativo per $x<0$ e positivo per $x>0$. - Per $x\to -\infty$ si avvicina all'asintoto orizzontale $y=0$ da valori negativi. - Decresce fino al punto di minimo assoluto $(-1,-1/e)$ e poi cresce indefinitamente. - La concavità (derivata seconda $f^{\prime \prime }(x)=e^x(x+2)$) è verso il basso per $x<-2$ e verso l'alto per $x>-2$, con un flesso in $x=-2$ ($f(-2)=-2/e^2$). - Complessivamente la curva ricorda una “scivolata” da $0$ a $-1/e$ e poi una rapida crescita verso $+\infty$.

Domande frequenti

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