Studio di $f(x)=e^{\left(-x^2\right)}$

Studio completo passo-passo

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   Dominio e simmetrie

   La funzione $f(x)=e^{-x^2}$ è definita per ogni $x$ reale, poiché l'esponenziale è definito su tutto $\mathbb{R}$.

   Quindi il dominio è $\mathbb{R}$.

   Controlliamo la simmetria: $f(-x)=e^{-(-x{)}^2}=e^{-x^2}=f(x)$.

   La funzione è pari, il che implica simmetria rispetto all'asse $y$ e ci permette di studiare solo $x\ge 0$ e poi riflettere.

   $$f(-x)=e^{-(-x{)}^2}=e^{-x^2}=f(x)$$
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   Intersezioni con gli assi e segno

   Intersezione con l'asse $y$: ponendo $x=0$ si ottiene $f(0)=e^0=1$, quindi il punto $(0,1)$.

   Intersezione con l'asse $x$: $f(x)=0$ non ha soluzione perché $e^{-x^2}>0$ per ogni $x$.

   Quindi nessuna intersezione.

   Segno: essendo un esponenziale con esponente reale, $f(x)>0$ per ogni $x\in \mathbb{R}$.

   $$f(0)=e^{-0^2}=1e^{-x^2}>0\forall x$$
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   Limiti agli estremi del dominio e asintoti

   Calcoliamo i limiti per $x\to \pm \infty$:

   $$\underset{x\to \pm \infty }{\lim }{e}^{-x^2}=\underset{t\to -\infty }{\lim }{e}^t=0$$

   dove $t=-x^2$.

   Quindi la retta $y=0$ è asintoto orizzontale completo (sia a $+\infty$ che a $-\infty$).

   Non ci sono asintoti verticali (dominio tutto $\mathbb{R}$) né obliqui (esiste asintoto orizzontale).

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   Derivata prima e crescita/decrescenza

   Deriviamo $f(x)$ con la regola della catena: $f^{\prime }(x)=e^{-x^2}\cdot (-2x)=-2x{e}^{-x^2}$.

   Studiamo il segno della derivata: $e^{-x^2}>0$ sempre, quindi il segno di $f^{\prime }(x)$ è opposto a quello di $x$: - $f^{\prime }(x)>0$ per $x<0$ → $f$ crescente su $(-\infty ,0]$ - $f^{\prime }(x)<0$ per $x>0$ → $f$ decrescente su $[0,\infty )$ - $f^{\prime }(0)=0$ → punto critico in $x=0$.

   $$f^{\prime }(x)=\frac{d}{dx}{e}^{-x^2}=e^{-x^2}\cdot (-2x)=-2x{e}^{-x^2}$$
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   Massimi, minimi e verifica

   Dal segno della derivata, $x=0$ è un punto di massimo relativo (e assoluto, perché $f$ è limitata superiormente).

   Il valore è $f(0)=1$.

   Non ci sono minimi relativi perché la funzione tende a $0$ all'infinito senza raggiungerlo.

   Verifica indipendente: la derivata seconda $f^{\prime \prime }(x)=-2e^{-x^2}+4x^2{e}^{-x^2}=2e^{-x^2}(2x^2-1)$; in $x=0$, $f^{\prime \prime }(0)=-2<0$ conferma il massimo.

   Inoltre il comportamento asintotico è coerente: $f$ cresce fino a $1$ in $0$ e poi decresce verso $0$.

   $$f(0)=1\text{(massimo)}{f}^{\prime \prime }(0)=-2<0$$
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   Descrizione del grafico

   Il grafico di $f(x)=e^{-x^2}$ è una curva a campana simmetrica rispetto all'asse $y$, con massimo in $(0,1)$ e asintoto orizzontale $y=0$ per $x\to \pm \infty$.

   È sempre positiva, decresce rapidamente allontanandosi dall'origine, senza mai annullarsi.

   La forma è la classica campana gaussiana (anche se senza fattore di normalizzazione).

Domande frequenti

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