Studio di $f(x)=\frac{\left(x^2-4\right)}{\left(x^2-1\right)}$

Studio completo passo-passo

1. 1

   1. Dominio e simmetrie

   La funzione $f(x)=\frac{x^2-4}{x^2-1}$ è una funzione razionale fratta.

   Il dominio è l'insieme dei valori reali che non annullano il denominatore: $x^2-1\ne 0$, quindi $x\ne \pm 1$.

   Dominio: $\mathbb{R}\setminus \{-1,1\}$.

   La funzione è pari, poiché $f(-x)=\frac{(-x{)}^2-4}{(-x{)}^2-1}=\frac{x^2-4}{x^2-1}=f(x)$.

   Quindi il grafico è simmetrico rispetto all'asse $y$.

2. 2

   2. Intersezioni con gli assi e segno

   Intersezione con l'asse $y$: $x=0\Rightarrow f(0)=\frac{0-4}{0-1}=4$, punto $(0,4)$.

   Intersezioni con l'asse $x$: $f(x)=0\Rightarrow x^2-4=0\Rightarrow x=\pm 2$, punti $(-2,0)$ e $(2,0)$.

   Segno: studiamo il segno di numeratore e denominatore.

   $$\begin{array}{cccccccc}x& -\infty & -2& -1& 0& 1& 2& +\infty \\ x^2-4& +& 0& -& -& -& 0& +\\ x^2-1& +& +& 0& -& 0& +& +\\ f(x)& +& 0& \text{non def.}& +& \text{non def.}& 0& +\end{array}$$

   Precisamente: - $x<-2$: numeratore $+$, denominatore $+$ $\Rightarrow f(x)>0$ - $-2<x<-1$: numeratore $-$, denominatore $+$ $\Rightarrow f(x)<0$ - $-1<x<1$: numeratore $-$, denominatore $-$ $\Rightarrow f(x)>0$ - $1<x<2$: numeratore $-$, denominatore $+$ $\Rightarrow f(x)<0$ - $x>2$: numeratore $+$, denominatore $+$ $\Rightarrow f(x)>0$

3. 3

   3. Limiti e asintoti

   Limiti agli estremi del dominio:

   - Per $x\to \pm \infty$: ${\lim }_{x\to \pm \infty }\frac{x^2-4}{x^2-1}={\lim }_{x\to \pm \infty }\frac{1-\frac{4}{x^2}}{1-\frac{1}{x^2}}=1$.

   Quindi asintoto orizzontale $y=1$.

   - Per $x\to -1$: - $x\to -1^{-}$ (da sinistra): denominatore $x^2-1\to 0^{+}$ (perché $x<-1$, $x^2>1$), numeratore $\to -3$, quindi $f(x)\to -\infty$. - $x\to -1^{+}$ (da destra): $x^2-1\to 0^{-}$, numeratore $\to -3$, quindi $f(x)\to +\infty$.

   Pertanto $x=-1$ è asintoto verticale.

   - Per $x\to 1$: - $x\to 1^{-}$: $x^2-1\to 0^{-}$, numeratore $\to -3$, $\Rightarrow f(x)\to +\infty$. - $x\to 1^{+}$: $x^2-1\to 0^{+}$, numeratore $\to -3$, $\Rightarrow f(x)\to -\infty$.

   Quindi $x=1$ è asintoto verticale.

   Non ci sono asintoti obliqui, data la presenza di asintoto orizzontale.

4. 4

   4. Derivata prima, crescenza e decrescenza, estremi

   Calcoliamo la derivata prima usando la regola del quoziente:

   $$f^{\prime }(x)=\frac{(2x)(x^2-1)-(x^2-4)(2x)}{(x^2-1{)}^2}=\frac{2x[(x^2-1)-(x^2-4)]}{(x^2-1{)}^2}=\frac{2x\cdot 3}{(x^2-1{)}^2}=\frac{6x}{(x^2-1{)}^2}.$$

   Il denominatore è sempre positivo (quadrato), quindi il segno di $f^{\prime }(x)$ è lo stesso di $6x$. - $f^{\prime }(x)>0$ per $x>0$ (con $x\ne 1$) - $f^{\prime }(x)<0$ per $x<0$ (con $x\ne -1$) - $f^{\prime }(0)=0$

   Pertanto: - Nell'intervallo $(-\infty ,-1)$: $f^{\prime }(x)<0$ (perché $x<0$), quindi $f$ decrescente. - Nell'intervallo $(-1,0)$: $f^{\prime }(x)<0$, $f$ decrescente da $+\infty$ (per $x\to -1^{+}$) a $f(0)=4$. - Nell'intervallo $(0,1)$: $f^{\prime }(x)>0$, $f$ crescente da $f(0)=4$ a $+\infty$ (per $x\to 1^{-}$). - Nell'intervallo $(1,+\infty )$: $f^{\prime }(x)>0$, $f$ crescente da $-\infty$ (per $x\to 1^{+}$) a $1$ (per $x\to +\infty$).

   Punto stazionario: $x=0$, $f(0)=4$.

   Poiché $f^{\prime }$ cambia da negativa a positiva, $x=0$ è un punto di minimo locale.

   Non esistono massimi locali.

5. 5

   5. Descrizione del grafico e verifica

   Descrizione: La funzione è pari, simmetrica rispetto all'asse $y$.

   Presenta due asintoti verticali in $x=-1$ e $x=1$ e un asintoto orizzontale $y=1$ per $x\to \pm \infty$.

   Interseca gli assi in $(0,4)$ e $(\pm 2,0)$. - Per $x<-1$: la funzione è decrescente (da $1$ a $-\infty$), negativa tra $-2$ e $-1$, positiva per $x<-2$. - Per $-1<x<1$: la funzione ha un minimo locale in $x=0$ con $f(0)=4$, è decrescente da $+\infty$ a $4$ e poi crescente da $4$ a $+\infty$. - Per $x>1$: la funzione è crescente (da $-\infty$ a $1$), negativa tra $1$ e $2$, positiva per $x>2$.

   Verifica: Controlliamo la correttezza della derivata usando un punto campione, ad esempio $x=2$.

   Derivata calcolata: $f^{\prime }(2)=\frac{6\cdot 2}{(4-1{)}^2}=\frac{12}{9}=\frac{4}{3}$.

   Calcoliamo la derivata numericamente con il rapporto incrementale: $f(2.001)=\frac{4.004001-4}{4.004001-1}=\frac{0.004001}{3.004001}\approx 0.001331$, $f(2)=0$, quindi $f(2.001)-f(2)\approx 0.001331$, dividendo per $0.001$ otteniamo circa $1.331$, prossimo a $4/3\approx 1.333$, confermando.

   Inoltre, il segno della funzione e la simmetria sono verificati sostituendo valori: $f(0.5)=5$, $f(-0.5)=5$, pari.

   I limiti laterali sono coerenti con il segno della derivata.

   Lo studio è completo.

Domande frequenti

Esercizi correlati