Studio di $f(x)=x+\frac{1}{x}$

Studio completo passo-passo

1. 1

   Determinazione del dominio

   La funzione $f(x)=x+\frac{1}{x}$ è composta da un termine razionale fratto $\frac{1}{x}$, che richiede il denominatore non nullo.

   Pertanto il dominio è:

   $$\mathbb{R}\setminus \{0\}$$
2. 2

   Simmetrie della funzione

   Sostituiamo $x$ con $-x$:

   $$f(-x)=-x+\frac{1}{-x}=-x-\frac{1}{x}=-\left(x+\frac{1}{x}\right)=-f(x)$$

   La funzione è dispari (simmetria rispetto all'origine).

3. 3

   Intersezioni con gli assi cartesiani

   - Asse $y$: $x=0$ non appartiene al dominio, nessuna intersezione. - Asse $x$: poniamo $f(x)=0$:

   $$x+\frac{1}{x}=0\Rightarrow x^2+1=0$$

   L'equazione non ha soluzioni reali.

   Nessuna intersezione con l'asse $x$.

4. 4

   Studio del segno

   Riscriviamo $f(x)$ come:

   $$f(x)=\frac{x^2+1}{x}$$

   Il numeratore $x^2+1$ è sempre positivo.

   Quindi il segno di $f(x)$ coincide con il segno del denominatore $x$:

   - $f(x)>0$ per $x>0$ - $f(x)<0$ per $x<0$

5. 5

   Limiti agli estremi del dominio e asintoti

   Calcoliamo i limiti:

   $$\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(x+\frac{1}{x}\right)=+\infty ,\underset{x\to -\infty }{\lim }\left(x+\frac{1}{x}\right)=-\infty$$

   $$\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\left(x+\frac{1}{x}\right)=+\infty ,\underset{x\to 0^{-}}{\lim }\left(x+\frac{1}{x}\right)=-\infty$$

   Dai limiti per $x\to 0$ si ottiene l'asintoto verticale $x=0$.

   Inoltre:

   $$\underset{x\to \pm \infty }{\lim }(f(x)-x)=\underset{x\to \pm \infty }{\lim }\frac{1}{x}=0$$

   Pertanto la retta $y=x$ è asintoto obliquo per $x\to +\infty$ e $x\to -\infty$.

6. 6

   Derivata prima e monotonia

   Deriviamo la funzione:

   $$f^{\prime }(x)=1-\frac{1}{x^2}=\frac{x^2-1}{x^2}$$

   Il denominatore è sempre positivo per $x\ne 0$, quindi il segno di $f^{\prime }(x)$ è determinato dal numeratore $x^2-1$:

   - $f^{\prime }(x)>0$ per $x<-1$ o $x>1$ (funzione crescente) - $f^{\prime }(x)<0$ per $-1<x<0$ o $0<x<1$ (funzione decrescente)

   I punti stazionari sono $x=-1$ e $x=1$.

   Analizzando il cambio di segno:

   - In $x=-1$: da $+$ a $-$ → massimo relativo con $f(-1)=-2$ - In $x=1$: da $-$ a $+$ → minimo relativo con $f(1)=2$

7. 7

   Descrizione dell'andamento grafico

   Il grafico è formato da due rami separati dall'asintoto verticale $x=0$:

   - Per $x>0$: la funzione scende da $+\infty$ in $0^{+}$ fino al minimo in $(1,2)$, poi risale verso $+\infty$ avvicinandosi asintoticamente a $y=x$. - Per $x<0$ (simmetricamente per disparità): la funzione sale da $-\infty$ in $0^{-}$ fino al massimo in $(-1,-2)$, poi scende verso $-\infty$ seguendo $y=x$.

   Non ci sono intersezioni con gli assi né altri punti notevoli.

   La derivata seconda $f^{\prime \prime }(x)=2/x^3$ indica concavità verso l'alto per $x>0$ e verso il basso per $x<0$.

Domande frequenti

Esercizi correlati