Studio di $f(x)=\frac{x^3}{\left(x^2-1\right)}$

Studio completo passo-passo

1. 1

   Dominio e simmetrie

   Il denominatore si annulla per $x^2-1=0$, cioè $x=\pm 1$.

   Quindi il dominio è $\mathbb{R}\setminus \{-1,1\}$.

   Verifichiamo la simmetria: $f(-x)=\frac{(-x{)}^3}{(-x{)}^2-1}=-\frac{x^3}{x^2-1}=-f(x)$.

   La funzione è dispari, quindi simmetrica rispetto all'origine.

2. 2

   Intersezioni con gli assi e segno

   Intersezione con l'asse $x$ ($y=0$): $x^3=0\Rightarrow x=0$.

   Punto $(0,0)$.

   Intersezione con l'asse $y$ ($x=0$): $f(0)=0$.

   Unico punto di intersezione.

   Segno: numeratore $x^3>0$ per $x>0$, $<0$ per $x<0$; denominatore $x^2-1>0$ per $x<-1$ o $x>1$, $<0$ per $-1<x<1$.

   Tabella:

   $$\begin{array}{ccccc}x& (-\infty ,-1)& (-1,0)& (0,1)& (1,\infty )\\ \text{num.}& -& -& +& +\\ \text{den.}& +& -& -& +\\ f(x)& -& +& -& +\end{array}$$

   Quindi $f(x)>0$ per $x\in (-1,0)\cup (1,\infty )$, $f(x)<0$ per $x\in (-\infty ,-1)\cup (0,1)$ e $f(0)=0$.

3. 3

   Limiti e asintoti

   Calcoliamo i limiti agli estremi del dominio.

   Per $x\to \pm \infty$: $f(x)\sim x$, quindi non ci sono asintoti orizzontali.

   Cerchiamo l'asintoto obliquo $y=mx+q$:

   $$m=\underset{x\to \pm \infty }{\lim }\frac{f(x)}{x}=\underset{x\to \pm \infty }{\lim }\frac{x^2}{x^2-1}=1,q=\underset{x\to \pm \infty }{\lim }(f(x)-x)=\underset{x\to \pm \infty }{\lim }\frac{x}{x^2-1}=0.$$

   Asintoto obliquo: $y=x$ per $x\to \pm \infty$.

   Asintoti verticali in $x=-1$ e $x=1$: - $x\to 1^{+}$: denominatore $0^{+}$, numeratore $1>0\Rightarrow f(x)\to +\infty$; $x\to 1^{-}$: denominatore $0^{-}$, numeratore $1>0\Rightarrow f(x)\to -\infty$. - $x\to -1^{+}$ ($x>-1$): denominatore $0^{-}$, numeratore $-1<0\Rightarrow f(x)\to +\infty$; $x\to -1^{-}$: denominatore $0^{+}$, numeratore $-1<0\Rightarrow f(x)\to -\infty$.

4. 4

   Derivata prima e monotonia

   Deriviamo utilizzando la regola del quoziente:

   $$f^{\prime }(x)=\frac{3x^2(x^2-1)-x^3\cdot 2x}{(x^2-1{)}^2}=\frac{3x^4-3x^2-2x^4}{(x^2-1{)}^2}=\frac{x^4-3x^2}{(x^2-1{)}^2}=\frac{x^2(x^2-3)}{(x^2-1{)}^2}.$$

   Il denominatore è sempre positivo nel dominio.

   Il numeratore $x^2(x^2-3)$ è nullo per $x=0,\pm \sqrt{3}$ e positivo per $|x|>\sqrt{3}$, negativo per $|x|<\sqrt{3}$ (esclusi $x=0$ dove è nullo ma il segno non cambia).

   Segno di $f^{\prime }(x)$:

   - $x<-\sqrt{3}$: $+$ → $f$ crescente - $-\sqrt{3}<x<-1$: $-$ → $f$ decrescente - $-1<x<0$: $-$ → $f$ decrescente - $0<x<1$: $-$ → $f$ decrescente - $1<x<\sqrt{3}$: $-$ → $f$ decrescente - $x>\sqrt{3}$: $+$ → $f$ crescente

   Punti critici: $x=-\sqrt{3}$ (massimo relativo, poiché la derivata passa da $+$ a $-$) con $f(-\sqrt{3})=-\frac{3\sqrt{3}}{2}$; $x=\sqrt{3}$ (minimo relativo, da $-$ a $+$) con $f(\sqrt{3})=\frac{3\sqrt{3}}{2}$; $x=0$ è punto stazionario con derivata nulla ma senza cambio di segno (punto di flesso a tangente orizzontale).

5. 5

   Derivata seconda e descrizione del grafico

   Calcoliamo la derivata seconda per concavità e punti di flesso.

   $$f^{\prime \prime }(x)=\frac{2x(x^2+3)}{(x^2-1{)}^3}.$$

   Segno: numeratore $2x$ positivo per $x>0$, negativo per $x<0$; denominatore $(x^2-1{)}^3$ positivo per $|x|>1$, negativo per $|x|<1$.

   Quindi:

   - $x<-1$: $f^{\prime \prime }<0$ (concavità verso il basso) - $-1<x<0$: $f^{\prime \prime }>0$ (concavità verso l'alto) - $0<x<1$: $f^{\prime \prime }<0$ (concavità verso il basso) - $x>1$: $f^{\prime \prime }>0$ (concavità verso l'alto)

   Punto di flesso in $x=0$ (cambio di concavità, $f(0)=0$).

   Verifica della derivata prima con metodo alternativo: riscriviamo $f(x)=x+\frac{x}{x^2-1}$; derivando si ottiene $1+\frac{(x^2-1)-2x^2}{(x^2-1{)}^2}=1-\frac{x^2+1}{(x^2-1{)}^2}=\frac{x^4-3x^2}{(x^2-1{)}^2}$, identico.

   Descrizione del grafico: dominio $\mathbb{R}\setminus \{\pm 1\}$, simmetria dispari, intersezione in $(0,0)$.

   Asintoti verticali in $x=-1$ e $x=1$, asintoto obliquo $y=x$.

   Funzione crescente in $(-\infty ,-\sqrt{3})$ e $(\sqrt{3},\infty )$, decrescente altrove.

   Massimo relativo in $(-\sqrt{3},-\frac{3\sqrt{3}}{2})$, minimo relativo in $(\sqrt{3},\frac{3\sqrt{3}}{2})$, flesso in $(0,0)$ con tangente orizzontale.

   Concavità verso l'alto in $(-1,0)\cup (1,\infty )$, verso il basso in $(-\infty ,-1)\cup (0,1)$.

Domande frequenti

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