Studio di $f(x)=x^3+3\cdot x^2$

Studio completo passo-passo

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   Dominio e simmetrie

   La funzione $f(x)=x^3+3x^2$ è un polinomio, quindi definita per ogni $x$ reale.

   $$\text{Dominio: }\mathbb{R}$$

   Controllo le simmetrie: $f(-x)=(-x{)}^3+3(-x{)}^2=-x^3+3x^2$.

   Si ha $f(-x)\ne f(x)$ e $f(-x)\ne -f(x)$, quindi nessuna simmetria notevole.

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   Intersezioni con gli assi e segno

   **Intersezioni con l’asse $x$:** $f(x)=0\Rightarrow x^3+3x^2=0\Rightarrow x^2(x+3)=0$, quindi $x=0$ (doppia) e $x=-3$.

   **Intersezione con l’asse $y$:** $f(0)=0$, punto $(0,0)$.

   Segno: $f(x)=x^2(x+3)$.

   Il fattore $x^2\ge 0$ (nullo solo in $x=0$), quindi il segno è quello di $x+3$:

   - $x<-3$ : $x+3<0$ $\Rightarrow$ $f(x)<0$, - $x=-3$ : $f(x)=0$, - $-3<x<0$ : $x+3>0$ $\Rightarrow$ $f(x)>0$, - $x=0$ : $f(x)=0$ (radice doppia, la curva è tangente all’asse $x$), - $x>0$ : $f(x)>0$.

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   Limiti e asintoti

   Per $x\to \pm \infty$, il termine dominante è $x^3$:

   $$\underset{x\to -\infty }{\lim }f(x)=-\infty ,\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=+\infty$$

   Non esistono asintoti verticali (dominio $\mathbb{R}$) né asintoti orizzontali/obliqui (la funzione è un polinomio di grado $>1$).

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   Derivata prima, monotonia, massimi e minimi

   Derivata prima:

   $$f^{\prime }(x)=3x^2+6x=3x(x+2)$$

   Punti critici: $f^{\prime }(x)=0\Rightarrow x=0\text{ o }x=-2$.

   Studio del segno di $f^{\prime }(x)$:

   - Per $x<-2$: $x<0$ e $x+2<0$ ⇒ prodotto positivo ⇒ $f^{\prime }>0$ ⇒ $f$ crescente. - Per $-2<x<0$: $x<0$ e $x+2>0$ ⇒ prodotto negativo ⇒ $f^{\prime }<0$ ⇒ $f$ decrescente. - Per $x>0$: $x>0$ e $x+2>0$ ⇒ prodotto positivo ⇒ $f^{\prime }>0$ ⇒ $f$ crescente.

   Quindi:

   - $x=-2$ è un massimo relativo (crescente → decrescente).

   $f(-2)=(-2{)}^3+3\cdot 4=-8+12=4$. - $x=0$ è un minimo relativo (decrescente → crescente).

   $f(0)=0$.

   Verifica con la derivata seconda: $f^{\prime \prime }(x)=6x+6$.

   $f^{\prime \prime }(-2)=-6<0$ (max), $f^{\prime \prime }(0)=6>0$ (min).

   Conferma.

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   Derivata seconda, concavità e punto di flesso

   Derivata seconda:

   $$f^{\prime \prime }(x)=6x+6=6(x+1)$$

   Segno di $f^{\prime \prime }$: - $x<-1$: $f^{\prime \prime }<0$ ⇒ concavità verso il basso, - $x=-1$: $f^{\prime \prime }=0$ e cambia segno ⇒ punto di flesso, - $x>-1$: $f^{\prime \prime }>0$ ⇒ concavità verso l’alto.

   Punto di flesso in $x=-1$: $f(-1)=(-1{)}^3+3\cdot 1=-1+3=2$, quindi $(-1,2)$.

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   Descrizione del grafico e verifica finale

   Descrizione: La funzione $f(x)=x^3+3x^2$ è un polinomio di terzo grado a coefficiente direttivo positivo.

   Il grafico: - parte da $-\infty$ per $x\to -\infty$, - cresce fino al massimo relativo $(-2,4)$, - decresce fino al minimo relativo $(0,0)$ (tangente all’asse $x$), - cresce di nuovo verso $+\infty$, - interseca l’asse $x$ in $(-3,0)$ e $(0,0)$ (doppio), - è negativo solo per $x<-3$, positivo altrove, - ha un flesso in $(-1,2)$ dove cambia la concavità.

   Verifica: Ricalcolo la derivata prima con la regola di derivazione dei polinomi: $D(x^3)=3x^2$, $D(3x^2)=6x$, somma $3x^2+6x$, identica.

   Controllo i valori critici: $f^{\prime }(-2)=3\cdot 4-12=0$, $f^{\prime }(0)=0$.

   Segno di $f^{\prime }$ testato con un punto in ogni intervallo: $x=-3$ (positivo), $x=-1$ (negativo), $x=1$ (positivo).

   Conferma la monotonia.

Domande frequenti

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