Studio di $f(x)=x^3-12\cdot x$

Studio completo passo-passo

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   Dominio e Simmetrie

   La funzione $f(x)=x^3-12x$ è un polinomio, quindi il dominio è tutto $\mathbb{R}$.

   Non ci sono denominatori né radici che lo restringono.

   Verifichiamo eventuali simmetrie: $f(-x)=(-x{)}^3-12(-x)=-x^3+12x=-(x^3-12x)=-f(x)$.

   Dunque $f$ è dispari, simmetrica rispetto all'origine.

2. 2

   Intersezioni con gli assi

   Intersezione con l'asse $y$: ponendo $x=0$ si ha $f(0)=0$, quindi $A=(0,0)$.

   Intersezioni con l'asse $x$: risolviamo $f(x)=0$:

   $$x^3-12x=0\Rightarrow x(x^2-12)=0$$

   Da cui $x=0$, $x=\pm \sqrt{12}=\pm 2\sqrt{3}$.

   I punti sono $(0,0)$, $(-2\sqrt{3},0)$ e $(2\sqrt{3},0)$.

3. 3

   Segno della funzione

   Studiamo il segno di $f(x)=x(x^2-12)$ tramite i fattori.

   $x>0$ per $x>0$, $x<0$ per $x<0$; $x^2-12>0$ per $x<-2\sqrt{3}$ o $x>2\sqrt{3}$, negativo per $-2\sqrt{3}<x<2\sqrt{3}$.

   Componiamo i segni: - $x<-2\sqrt{3}$: $x<0$ e $x^2-12>0$ → prodotto negativo $(-)\cdot (+)=(-)$ → $f(x)<0$. - $-2\sqrt{3}<x<0$: $x<0$ e $x^2-12<0$ → $(-)\cdot (-)=(+)$ → $f(x)>0$. - $0<x<2\sqrt{3}$: $x>0$ e $x^2-12<0$ → $(+)\cdot (-)=(-)$ → $f(x)<0$. - $x>2\sqrt{3}$: $x>0$ e $x^2-12>0$ → $(+)\cdot (+)=(+)$ → $f(x)>0$.

   Riassunto: $f(x)>0$ per $x\in (-2\sqrt{3},0)\cup (2\sqrt{3},\infty )$; $f(x)<0$ per $x\in (-\infty ,-2\sqrt{3})\cup (0,2\sqrt{3})$.

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   Limiti agli estremi e asintoti

   Poiché $f$ è un polinomio di terzo grado, i limiti agli estremi del dominio sono:

   $$\underset{x\to -\infty }{\lim }(x^3-12x)=-\infty ,\underset{x\to +\infty }{\lim }(x^3-12x)=+\infty .$$

   Non esistono asintoti orizzontali (limiti finiti) né verticali (dominio tutto $\mathbb{R}$).

   Non ci sono asintoti obliqui perché il grado del polinomio è maggiore di 1.

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   Derivata prima: crescenza/decrescenza e punti stazionari

   Calcoliamo la derivata prima: $f^{\prime }(x)=3x^2-12$.

   Poniamo $f^{\prime }(x)=0$ per trovare i punti critici:

   $$3x^2-12=0\Rightarrow x^2=4\Rightarrow x=\pm 2.$$

   Studiamo il segno di $f^{\prime }(x)$: $3x^2-12>0$ per $x<-2$ o $x>2$ (funzione crescente); $f^{\prime }(x)<0$ per $-2<x<2$ (funzione decrescente).

   Quindi: - $x=-2$ è punto di massimo relativo; - $x=2$ è punto di minimo relativo.

   I valori corrispondenti: $f(-2)=(-2{)}^3-12(-2)=-8+24=16$, $f(2)=8-24=-16$.

   Punti: $M=(-2,16)$, $m=(2,-16)$.

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   Derivata seconda: concavità e flessi

   Calcoliamo la derivata seconda: $f^{\prime \prime }(x)=6x$.

   Studiamo il segno: $f^{\prime \prime }(x)>0$ per $x>0$ (concavità verso l'alto), $f^{\prime \prime }(x)<0$ per $x<0$ (concavità verso il basso).

   La derivata seconda si annulla in $x=0$, che è punto di flesso (cambio di concavità).

   Il valore è $f(0)=0$, quindi $F=(0,0)$ (coincide con un'intersezione).

7. 7

   Descrizione del grafico

   La funzione è dispari e simmetrica rispetto all'origine.

   Il grafico ha forma di una "S" cubica: parte da $-\infty$ crescendo fino al massimo $(-2,16)$, poi decresce fino al minimo $(2,-16)$, infine cresce di nuovo verso $+\infty$.

   La concavità è verso il basso per $x<0$ e verso l'alto per $x>0$, con flesso nell'origine.

   Interseca l'asse $x$ in $(-2\sqrt{3},0)$, $(0,0)$ e $(2\sqrt{3},0)$.

   Non ci sono asintoti.

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