Studio di $f(x)=e^x\cdot \left(x^2-1\right)$

Studio completo passo-passo

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   Dominio e simmetrie

   La funzione $f(x)=e^x(x^2-1)$ è definita su tutto $\mathbb{R}$ perché $e^x$ è definita per ogni $x$ e $x^2-1$ è un polinomio.

   Per le simmetrie, $f(-x)=e^{-x}(x^2-1)\ne f(x)$ e $f(-x)\ne -f(x)$.

   La funzione non è né pari né dispari.

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   Intersezioni con gli assi

   Intersezione con l'asse $y$: poniamo $x=0$:

   $$f(0)=e^0(0-1)=1\cdot (-1)=-1\Rightarrow (0,-1).$$

   Intersezioni con l'asse $x$: risolviamo $f(x)=0\Rightarrow e^x(x^2-1)=0$.

   Poiché $e^x>0$ per ogni $x$, si ha $x^2-1=0\Rightarrow x=\pm 1$.

   Quindi i punti sono $(-1,0)$ e $(1,0)$.

3. 3

   Segno della funzione

   $e^x>0$ per ogni $x$, quindi il segno di $f$ coincide con il segno di $x^2-1$.

   Pertanto:

   - $f(x)>0$ per $x<-1$ o $x>1$; - $f(x)<0$ per $-1<x<1$; - $f(x)=0$ per $x=\pm 1$.

4. 4

   Limiti agli estremi del dominio e asintoti

   Calcoliamo i limiti a $\pm \infty$.

   Per $x\to -\infty$, $e^x$ tende a $0$ più velocemente di quanto $x^2-1$ tenda a $+\infty$, quindi il prodotto tende a $0$:

   $$\underset{x\to -\infty }{\lim }{e}^x(x^2-1)=0.$$

   Pertanto la retta $y=0$ è un asintoto orizzontale sinistro.

   Per $x\to +\infty$, $e^x\to +\infty$ e $x^2-1\to +\infty$, quindi

   $$\underset{x\to +\infty }{\lim }{e}^x(x^2-1)=+\infty .$$

   Non esistono asintoti obliqui poiché la funzione cresce oltre ogni limite lineare.

5. 5

   Derivata prima, crescenza e decrescenza, massimi e minimi

   Calcoliamo la derivata prima usando la regola del prodotto:

   $$f^{\prime }(x)=e^x(x^2-1)+e^x(2x)=e^x(x^2+2x-1).$$

   Poiché $e^x>0$, il segno di $f^{\prime }(x)$ dipende dal trinomio $x^2+2x-1$.

   Le radici sono:

   $$x=\frac{-2\pm \sqrt{4+4}}{2}=-1\pm \sqrt{2}.$$

   Il coefficiente di $x^2$ è positivo, quindi: - $f^{\prime }(x)>0$ per $x<-1-\sqrt{2}$ e $x>-1+\sqrt{2}$ (funzione crescente); - $f^{\prime }(x)<0$ per $-1-\sqrt{2}<x<-1+\sqrt{2}$ (funzione decrescente).

   Pertanto $x=-1-\sqrt{2}$ è un punto di massimo locale (la derivata passa da positiva a negativa) e $x=-1+\sqrt{2}$ è un punto di minimo locale.

   Valori della funzione nei punti critici:

   $$f(-1-\sqrt{2})=e^{-1-\sqrt{2}}\left((-1-\sqrt{2}{)}^2-1\right)=e^{-1-\sqrt{2}}(2+2\sqrt{2})=2(1+\sqrt{2})e^{-1-\sqrt{2}}(\text{positivo});$$

   $$f(-1+\sqrt{2})=e^{-1+\sqrt{2}}\left((-1+\sqrt{2}{)}^2-1\right)=e^{-1+\sqrt{2}}(2-2\sqrt{2})=2(1-\sqrt{2})e^{-1+\sqrt{2}}(\text{negativo, poicheˊ }1-\sqrt{2}<0).$$
6. 6

   Descrizione del grafico

   Il grafico di $f(x)=e^x(x^2-1)$ presenta le seguenti caratteristiche:

   - Dominio: $\mathbb{R}$. - Intersezioni: $(0,-1)$ con l'asse $y$; $(-1,0)$ e $(1,0)$ con l'asse $x$. - Segno: positivo per $x<-1$ e $x>1$, negativo per $-1<x<1$, zero in $x=\pm 1$. - Asintoto: $y=0$ per $x\to -\infty$; nessun asintoto per $x\to +\infty$. - Monotonia: crescente su $(-\infty ,-1-\sqrt{2})$ e $(-1+\sqrt{2},+\infty )$; decrescente su $(-1-\sqrt{2},-1+\sqrt{2})$.

   Massimo in $x=-1-\sqrt{2}$ con valore $2(1+\sqrt{2})e^{-1-\sqrt{2}}$, minimo in $x=-1+\sqrt{2}$ con valore $2(1-\sqrt{2})e^{-1+\sqrt{2}}$. - Concavità (derivata seconda): $f^{\prime \prime }(x)=e^x(x^2+4x+1)$; flessi in $x=-2\pm \sqrt{3}$; concavità verso l'alto per $x<-2-\sqrt{3}$ e $x>-2+\sqrt{3}$, verso il basso nell'intervallo intermedio.

   Il grafico, partendo da sinistra, si avvicina all'asse $x$ (da sopra per via del segno positivo), cresce fino al massimo locale, poi decresce passando per $(-1,0)$ e $(0,-1)$, raggiunge il minimo locale negativo, poi risale incrociando $(1,0)$ e prosegue crescendo rapidamente verso $+\infty$.

Domande frequenti

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