Studio di $f(x)=2\cdot x^3-3\cdot x^2-12\cdot x$

Studio completo passo-passo

1. 1

   Dominio e Simmetrie

   La funzione $f(x)=2x^3-3x^2-12x$ è un polinomio, quindi il dominio è tutto $\mathbb{R}$.

   Verifichiamo la parità:

   $$f(-x)=2(-x{)}^3-3(-x{)}^2-12(-x)=-2x^3-3x^2+12x$$

   Poiché $f(-x)\ne f(x)$ e $f(-x)\ne -f(x)$, $f$ non è né pari né dispari.

2. 2

   Intersezioni con gli assi

   Asse $y$: $x=0$ dà $f(0)=0$, punto $(0,0)$.

   Asse $x$: $f(x)=0$ porta a $2x^3-3x^2-12x=x(2x^2-3x-12)=0$.

   Risolviamo il quadratico:

   $$2x^2-3x-12=0\Rightarrow \Delta =9+96=105,x=\frac{3\pm \sqrt{105}}{4}$$

   Pertanto le intersezioni sono $x=0$, $x=\frac{3-\sqrt{105}}{4}\approx -1.81$, $x=\frac{3+\sqrt{105}}{4}\approx 3.31$.

3. 3

   Segno della funzione

   Gli zeri sono $a=\frac{3-\sqrt{105}}{4}$, $0$, $b=\frac{3+\sqrt{105}}{4}$.

   Analizziamo il segno nei loro intervalli:

   - Per $x<a$ (es.

   $x=-2$): $f(-2)=2(-8)-3(4)-12(-2)=-16-12+24=-4<0$. - Per $a<x<0$ (es.

   $x=-1$): $f(-1)=-2-3+12=7>0$. - Per $0<x<b$ (es.

   $x=1$): $f(1)=2-3-12=-13<0$. - Per $x>b$ (es.

   $x=4$): $f(4)=128-48-48=32>0$.

   Quindi $f(x)>0$ in $(a,0)\cup (b,+\infty )$; $f(x)<0$ in $(-\infty ,a)\cup (0,b)$.

4. 4

   Limiti e asintoti

   Trattandosi di un polinomio di grado dispari con coefficiente direttivo positivo:

   $$\underset{x\to -\infty }{\lim }f(x)=-\infty ,\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=+\infty$$

   Non ci sono asintoti verticali (dominio $\mathbb{R}$) né obliqui (grado $3>1$).

5. 5

   Derivata prima, crescenza e punti critici

   Calcoliamo $f^{\prime }(x)$:

   $$f^{\prime }(x)=6x^2-6x-12=6(x^2-x-2)=6(x-2)(x+1)$$

   $f^{\prime }(x)=0$ per $x=-1$ e $x=2$.

   Studio del segno:

   - $x<-1$: $(x-2)(x+1)=(-)(-)=+$ → $f^{\prime }(x)>0$ → $f$ crescente. - $-1<x<2$: $(-)(+)=-$ → $f^{\prime }(x)<0$ → $f$ decrescente. - $x>2$: $(+)(+)=+$ → $f^{\prime }(x)>0$ → $f$ crescente.

   Dunque $x=-1$ è punto di massimo relativo con $f(-1)=7$, $x=2$ è punto di minimo relativo con $f(2)=-20$.

6. 6

   Descrizione del grafico

   Il grafico è un cubico con coefficiente direttivo positivo.

   Interseca l'asse $x$ in tre punti: circa $-1.81$, $0$ e $3.31$.

   Ha un massimo relativo in $(-1,7)$ e un minimo relativo in $(2,-20)$.

   La funzione cresce da $-\infty$ fino a $x=-1$, decresce fino a $x=2$, poi cresce a $+\infty$.

   Non presenta simmetrie.

   Il punto $(0,0)$ è intersezione con l'asse $y$ e anche zero della funzione.

Domande frequenti

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